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Theorem riotasvdOLD 6595
Description: Deduction version of riotasv 6599. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
riotasvdOLD.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
riotasvdOLD.2  |-  ( ph  ->  A. y ph )
riotasvdOLD.3  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
riotasvdOLD  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ps ) )  ->  D  =  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    x, C    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)    B( y)    C( y)    D( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem riotasvdOLD
StepHypRef Expression
1 riotasvdOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
21eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  D )
32ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A )  ->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  D )
41eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  e.  A  <->  (
iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
54adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  e.  A  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
6 riotaclbg 6591 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
76adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  e.  A ) )
85, 7bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  e.  A  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) )
98biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A )  ->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
10 riotasvdOLD.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x ph )
1110nfi 1561 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
12 nfriota1 6559 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
1311, 1nfceqdf 2573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F/_ x D  <->  F/_ x ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) ) )
1412, 13mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
F/_ x D )
15 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
F/_ x A )
1614, 15nfeld 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F/ x  D  e.  A )
1711, 16nfan1 1846 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  D  e.  A )
1814adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/_ x D )
19 riotasvdOLD.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y ph )
2019nfi 1561 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y
ph
21 nfra1 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )
22 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
2321, 22nfriota 6561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )
2420, 1nfceqdf 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F/_ y D  <->  F/_ y ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) ) ) )
2523, 24mpbiri 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
F/_ y D )
26 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
F/_ y A )
2725, 26nfeld 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F/ y  D  e.  A )
2820, 27nfan1 1846 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ph  /\  D  e.  A )
29 nfcvd 2575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/_ x B )
30 nfvd 1631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/ x ps )
31 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/_ x C )
3218, 31nfeqd 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/ x  D  =  C
)
3330, 32nfimd 1828 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/ x ( ps  ->  D  =  C ) )
3428, 29, 33nfrald 2759 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  F/ x A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C ) )
35 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  D  e.  A )
36 nfcvd 2575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
F/_ y x )
3736, 25nfeqd 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F/ y  x  =  D )
3820, 37nfan1 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ph  /\  x  =  D )
39 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
x  =  C  <->  D  =  C ) )
4039adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  D )  ->  (
x  =  C  <->  D  =  C ) )
4140imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  D )  ->  (
( ps  ->  x  =  C )  <->  ( ps  ->  D  =  C ) ) )
4238, 41ralbid 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  D )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C ) ) )
4342adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  A )  /\  x  =  D )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C ) ) )
4417, 18, 34, 35, 43riota2df 6572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  D  e.  A )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  D ) )
4544adantllr 701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A
)  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  D ) )
469, 45mpdan 651 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C )  <->  ( iota_ x  e.  A A. y  e.  B  ( ps  ->  x  =  C ) )  =  D ) )
473, 46mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A )  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C ) )
4847ex 425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C ) ) )
49 rsp 2768 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  D  =  C )  ->  ( y  e.  B  ->  ( ps 
->  D  =  C
) ) )
5048, 49syl6 32 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  e.  A  ->  ( y  e.  B  -> 
( ps  ->  D  =  C ) ) ) )
5150imp4a 574 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( y  e.  B  /\  ps )  ->  D  =  C ) ) )
52513imp 1148 1  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  V )  /\  D  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ps ) )  ->  D  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   E!wreu 2709   iota_crio 6544
This theorem is referenced by:  riotasv2dOLD  6597  riotasv3dOLD  6601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-undef 6545  df-riota 6551
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