MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim0 Unicode version

Theorem rlim0 12231
Description: Express the predicate  B (
z ) converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim0.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim0.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim0  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim0
StepHypRef Expression
1 rlim0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 0cn 9019 . . . 4  |-  0  e.  CC
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
51, 2, 4rlim2 12219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
) ) )
6 subid1 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  0 )  =  B )
76fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( B  - 
0 ) )  =  ( abs `  B
) )
87breq1d 4165 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x  <->  ( abs `  B )  <  x
) )
98imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
109ralimi 2726 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  ->  A. z  e.  A  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
11 ralbi 2787 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
)  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
121, 10, 113syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B
)  <  x )
) )
1312rexbidv 2672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  B )  <  x ) ) )
1413ralbidv 2671 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  0 ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
155, 14bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  0  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  B )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   RR+crp 10546   abscabs 11968    ~~> r crli 12208
This theorem is referenced by:  o1rlimmul  12341  dvfsumrlim  19784  rlimcxp  20681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-ltxr 9060  df-sub 9227  df-rlim 12212
  Copyright terms: Public domain W3C validator