MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2 Structured version   Unicode version

Theorem rlim2 12295
Description: Rewrite rlim 12294 for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
rlim2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
32fmpt 5893 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  <->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
41, 3sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
5 rlim2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w ) )
74, 5, 6rlim 12294 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
) ) ) )
8 rlim2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
98biantrurd 496 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  (
y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
10 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ z  y  <_  w
11 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
12 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )
13 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z  -
14 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z C
1512, 13, 14nfov 6107 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 w )  -  C )
1611, 15nffv 5738 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )
17 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <
18 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
x
1916, 17, 18nfbr 4259 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
2010, 19nfim 1833 . . . . . 6  |-  F/ z ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)
21 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ w
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)
22 breq2 4219 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
y  <_  w  <->  y  <_  z ) )
23 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  =  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z ) )
2423oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
)  =  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )
2524fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) ) )
2625breq1d 4225 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )  <  x ) )
2722, 26imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
2820, 21, 27cbvral 2930 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  A  (
y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
) )
292fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  =  B )
3029oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C )  =  ( B  -  C ) )
3130fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  =  ( abs `  ( B  -  C ) ) )
3231breq1d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )
3332imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3433ralimiaa 2782 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  CC  ->  A. z  e.  A  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
35 ralbi 2844 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  z )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
361, 34, 353syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3728, 36syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3837rexbidv 2728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  A  |->  B ) `  w )  -  C
) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3938ralbidv 2727 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. w  e.  A  ( y  <_  w  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  A  |->  B ) `  w
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
407, 9, 393bitr2d 274 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   RR+crp 10617   abscabs 12044    ~~> r crli 12284
This theorem is referenced by:  rlim2lt  12296  rlim3  12297  rlim0  12307  rlimi  12312  rlimconst  12343  climrlim2  12346  rlimcn1  12387  rlimcn2  12389  chtppilim  21174  pntlem3  21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-pm 7024  df-rlim 12288
  Copyright terms: Public domain W3C validator