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Theorem rlim2lt 12283
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
rlim2lt  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 rlim2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 12282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
5 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
6 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
76sselda 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
8 ltle 9155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  <  z  ->  y  <_  z )
)
95, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  <  z  ->  y  <_  z ) )
109imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
1110ralimdva 2776 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
122, 11sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
1312reximdva 2810 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
1413ralimdv 2777 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
154, 14sylbid 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
16 peano2re 9231 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
1716adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
18 ltp1 9840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
1918ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
2016ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
21 ltletr 9158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
225, 20, 7, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <  ( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_  z )  ->  y  <  z ) )
2319, 22mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
2423imim1d 71 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
2524ralimdva 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
262, 25sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
27 breq1 4207 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
w  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
2827imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
2928ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  A  ( w  <_  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3029rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  A  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) )
3117, 26, 30ee12an 1372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
y  <  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
3231rexlimdva 2822 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3332ralimdv 2777 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
341, 2, 3rlim2 12282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3533, 34sylibrd 226 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <  z  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
) )
3615, 35impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  < 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   RR+crp 10604   abscabs 12031    ~~> r crli 12271
This theorem is referenced by:  rlim0lt  12295  rlimcnp  20796  xrlimcnp  20799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-rlim 12275
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