Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim2lt Structured version   Unicode version

Theorem rlim2lt 12283
 Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
Assertion
Ref Expression
rlim2lt
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4
2 rlim2.2 . . . 4
3 rlim2.3 . . . 4
41, 2, 3rlim2 12282 . . 3
5 simplr 732 . . . . . . . . 9
6 simpl 444 . . . . . . . . . 10
76sselda 3340 . . . . . . . . 9
8 ltle 9155 . . . . . . . . 9
95, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . . 8
109imim1d 71 . . . . . . 7
1110ralimdva 2776 . . . . . 6
122, 11sylan 458 . . . . 5
1312reximdva 2810 . . . 4
1413ralimdv 2777 . . 3
154, 14sylbid 207 . 2
16 peano2re 9231 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6
18 ltp1 9840 . . . . . . . . . . 11
1918ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10
2016ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
21 ltletr 9158 . . . . . . . . . . 11
225, 20, 7, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
2319, 22mpand 657 . . . . . . . . 9
2423imim1d 71 . . . . . . . 8
2524ralimdva 2776 . . . . . . 7
262, 25sylan 458 . . . . . 6
27 breq1 4207 . . . . . . . . 9
2827imbi1d 309 . . . . . . . 8
2928ralbidv 2717 . . . . . . 7
3029rspcev 3044 . . . . . 6
3117, 26, 30ee12an 1372 . . . . 5
3231rexlimdva 2822 . . . 4
3332ralimdv 2777 . . 3
341, 2, 3rlim2 12282 . . 3
3533, 34sylibrd 226 . 2
3615, 35impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  c1 8983   caddc 8985   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  crp 10604  cabs 12031   crli 12271 This theorem is referenced by:  rlim0lt  12295  rlimcnp  20796  xrlimcnp  20799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-rlim 12275
 Copyright terms: Public domain W3C validator