Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim3 Structured version   Unicode version

Theorem rlim3 12294
 Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1
rlim2.2
rlim2.3
rlim3.4
Assertion
Ref Expression
rlim3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4
2 rlim2.2 . . . 4
3 rlim2.3 . . . 4
41, 2, 3rlim2 12292 . . 3
5 simpr 449 . . . . . . . 8
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9
76adantr 453 . . . . . . . 8
8 ifcl 3777 . . . . . . . 8
95, 7, 8syl2anc 644 . . . . . . 7
10 max1 10775 . . . . . . . 8
116, 10sylan 459 . . . . . . 7
12 elicopnf 11002 . . . . . . . 8
137, 12syl 16 . . . . . . 7
149, 11, 13mpbir2and 890 . . . . . 6
152, 6jca 520 . . . . . . 7
16 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11
17 simplr 733 . . . . . . . . . . 11
18 max2 10777 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
2017, 16, 8syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
21 simpll 732 . . . . . . . . . . . 12
2221sselda 3350 . . . . . . . . . . 11
23 letr 9169 . . . . . . . . . . 11
2417, 20, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
2519, 24mpand 658 . . . . . . . . 9
2625imim1d 72 . . . . . . . 8
2726ralimdva 2786 . . . . . . 7
2815, 27sylan 459 . . . . . 6
29 breq1 4217 . . . . . . . . 9
3029imbi1d 310 . . . . . . . 8
3130ralbidv 2727 . . . . . . 7
3231rspcev 3054 . . . . . 6
3314, 28, 32ee12an 1373 . . . . 5
3433rexlimdva 2832 . . . 4
3534ralimdv 2787 . . 3
364, 35sylbid 208 . 2
37 pnfxr 10715 . . . . . 6
38 icossre 10993 . . . . . 6
396, 37, 38sylancl 645 . . . . 5
40 ssrexv 3410 . . . . 5
4139, 40syl 16 . . . 4
4241ralimdv 2787 . . 3
431, 2, 3rlim2 12292 . . 3
4442, 43sylibrd 227 . 2
4536, 44impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991   cpnf 9119  cxr 9121   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  crp 10614  cico 10920  cabs 12041   crli 12281 This theorem is referenced by:  rlimresb  12361  rlimsqzlem  12444  rlimcnp  20806 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-ico 10924  df-rlim 12285
 Copyright terms: Public domain W3C validator