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Theorem rlim3 11988
Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some  D  e.  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
rlim2.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlim2.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
rlim3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlim3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y    x, C, y, z    ph, x, y    y, D, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    D( x)

Proof of Theorem rlim3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  CC )
2 rlim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 rlim2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
41, 2, 3rlim2 11986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
5 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
6 rlim3.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
76adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  e.  RR )
8 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
95, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
10 max1 10530 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
116, 10sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
12 elicopnf 10755 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
137, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  D  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) ) ) )
149, 11, 13mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,)  +oo ) )
152, 6jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR ) )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  D  e.  RR )
17 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
18 max2 10532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D ) )
2017, 16, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR )
21 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
2221sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  RR )
23 letr 8930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
)  ->  w  <_  z ) )
2417, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  /\  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z )  ->  w  <_  z ) )
2519, 24mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  w  <_  z ) )
2625imim1d 69 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  -> 
( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
2726ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
x ) ) )
2815, 27sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
29 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
y  <_  z  <->  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z
) )
3029imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3130ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( D  <_  w ,  w ,  D )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  <->  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3231rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  e.  ( D [,)  +oo )  /\  A. z  e.  A  ( if ( D  <_  w ,  w ,  D )  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
)
3314, 28, 32ee12an 1353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  A  (
w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
3433rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
3534ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. w  e.  RR  A. z  e.  A  ( w  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
364, 35sylbid 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
37 pnfxr 10471 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
38 icossre 10746 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( D [,)  +oo )  C_  RR )
396, 37, 38sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D [,)  +oo )  C_  RR )
40 ssrexv 3251 . . . . 5  |-  ( ( D [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4139, 40syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
4241ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  x ) ) )
431, 2, 3rlim2 11986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  x
) ) )
4442, 43sylibrd 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
) )
4536, 44impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   [,)cico 10674   abscabs 11735    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  rlimresb  12055  rlimsqzlem  12138  rlimcnp  20276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-rlim 11979
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