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Theorem rlimcld2 12052
Description: If  D is a closed set in the topology of the complexes (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in  D, then the limit of the sequence also lies in  D. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimcld2.3  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
rlimcld2.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
rlimcld2.5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
rlimcld2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
rlimcld2  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    x, C, y, z    ph, x, y, z    x, D, y, z    x, R, z
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
21ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
32adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C )
6 rlimcl 11977 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  CC )
8 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  C  e.  D )
9 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  <->  ( C  e.  CC  /\  -.  C  e.  D ) )
107, 8, 9sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  ( CC  \  D
) )
11 rlimcld2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
1211ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+ )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) R  e.  RR+ )
14 nfcsb1v 3113 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ C  /  y ]_ R
1514nfel1 2429 . . . . 5  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  e.  RR+
16 csbeq1a 3089 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  R  =  [_ C  /  y ]_ R )
1716eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( R  e.  RR+  <->  [_ C  / 
y ]_ R  e.  RR+ ) )
1815, 17rspc 2878 . . . 4  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ ) )
1910, 13, 18sylc 56 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
203, 19, 5rlimi 11987 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R ) )
211adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  D )
2221adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
23 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2423ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
2524ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2625adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
27 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y D
28 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y  <_
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  (
z  -  C ) )
3014, 28, 29nfbr 4067 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )
3127, 30nfral 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )
32 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
z  -  y )  =  ( z  -  C ) )
3332fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
z  -  C ) ) )
3416, 33breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) ) ) )
3534ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  ( A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) ) ) )
3631, 35rspc 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) ) )
3710, 26, 36sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
39 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  C )  =  ( B  -  C ) )
4039fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4140breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )  <->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4241rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )  ->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4322, 38, 42sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4419ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
4544rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR )
46 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
4746ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  D  C_  CC )
4847, 22sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
497ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5048, 49subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
5150abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
5245, 51lenltd 8965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C
) )  <->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5343, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )
54 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  ->  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5554imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )
5653, 55nsyl 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
5756nrexdv 2646 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
58 rlimcld2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
601, 59fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D )
61 fdm 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
63 rlimss 11976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
644, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
6562, 64eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
66 ressxr 8876 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
6765, 66syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
68 supxrunb1 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
7058, 69mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x )
7170adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x
)
7271r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  E. x  e.  A  r  <_  x )
73 r19.29 2683 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  E. x  e.  A  r  <_  x )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
7473expcom 424 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  r  <_  x  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7572, 74syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
)  ->  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7657, 75mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
) )
7776nrexdv 2646 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
7820, 77condan 769 1  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   [_csb 3081    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719    ~~> r crli 11959
This theorem is referenced by:  rlimrege0  12053  rlimrecl  12054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963
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