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Theorem rlimcld2 12372
Description: If  D is a closed set in the topology of the complexes (stated here in basic form), and all the elements of the sequence lie in  D, then the limit of the sequence also lies in  D. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimcld2.3  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
rlimcld2.4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
rlimcld2.5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
rlimcld2.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
Assertion
Ref Expression
rlimcld2  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z    x, C, y, z    ph, x, y, z    x, D, y, z    x, R, z
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)

Proof of Theorem rlimcld2
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
21ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
32adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. x  e.  A  B  e.  D )
4 rlimcld2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C )
6 rlimcl 12297 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  CC )
8 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  C  e.  D )
97, 8eldifd 3331 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  C  e.  ( CC  \  D
) )
10 rlimcld2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  R  e.  RR+ )
1110ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+ )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) R  e.  RR+ )
13 nfcsb1v 3283 . . . . . 6  |-  F/_ y [_ C  /  y ]_ R
1413nfel1 2582 . . . . 5  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  e.  RR+
15 csbeq1a 3259 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  R  =  [_ C  /  y ]_ R )
1615eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( R  e.  RR+  <->  [_ C  / 
y ]_ R  e.  RR+ ) )
1714, 16rspc 3046 . . . 4  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) R  e.  RR+  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ ) )
189, 12, 17sylc 58 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
193, 18, 5rlimi 12307 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R ) )
201adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  D )
2120adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  D )
22 rlimcld2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  D
) )  /\  z  e.  D )  ->  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2322ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  D ) )  ->  A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
2423ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. y  e.  ( CC  \  D
) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  ( z  -  y ) ) )
26 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y D
27 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  (
z  -  C ) )
2913, 27, 28nfbr 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )
3026, 29nfral 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )
31 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
z  -  y )  =  ( z  -  C ) )
3231fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
z  -  C ) ) )
3315, 32breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) ) ) )
3433ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  ( A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  <->  A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) ) ) )
3530, 34rspc 3046 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( CC  \  D )  ->  ( A. y  e.  ( CC  \  D ) A. z  e.  D  R  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) ) )
369, 25, 35sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  D  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C ) ) )
38 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  B  ->  (
z  -  C )  =  ( B  -  C ) )
3938fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  B  ->  ( abs `  ( z  -  C ) )  =  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4039breq2d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( z  -  C
) )  <->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4140rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. z  e.  D  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  (
z  -  C ) )  ->  [_ C  / 
y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C ) ) ) )
4221, 37, 41sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C )
) )
4318ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR+ )
4443rpred 10648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  [_ C  /  y ]_ R  e.  RR )
45 rlimcld2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
4645ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  D  C_  CC )
4746, 21sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
487ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4947, 48subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
5049abscld 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  e.  RR )
5144, 50lenltd 9219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( [_ C  /  y ]_ R  <_  ( abs `  ( B  -  C
) )  <->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5242, 51mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )
53 id 20 . . . . . . 7  |-  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  ->  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
5453imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )
5552, 54nsyl 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D
)  /\  r  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  -.  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
5655nrexdv 2809 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
57 rlimcld2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
58 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
591, 58fmptd 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D )
60 fdm 5595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
62 rlimss 12296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
634, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
6461, 63eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65 ressxr 9129 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
6664, 65syl6ss 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
67 supxrunb1 10898 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
6957, 68mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  A. r  e.  RR  E. x  e.  A  r  <_  x
)
7170r19.21bi 2804 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  E. x  e.  A  r  <_  x )
72 r19.29 2846 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  E. x  e.  A  r  <_  x )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) )
7372expcom 425 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  r  <_  x  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  ->  E. x  e.  A  ( ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  [_ C  / 
y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7471, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
)  ->  E. x  e.  A  ( (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R )  /\  r  <_  x ) ) )
7556, 74mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  -.  C  e.  D )  /\  r  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  A  ( r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  [_ C  /  y ]_ R
) )
7675nrexdv 2809 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  e.  D )  ->  -.  E. r  e.  RR  A. x  e.  A  (
r  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  [_ C  /  y ]_ R ) )
7719, 76condan 770 1  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3251    \ cdif 3317    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   abscabs 12039    ~~> r crli 12279
This theorem is referenced by:  rlimrege0  12373  rlimrecl  12374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rlim 12283
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