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Theorem rlimcnp 20792
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function  S ( y )  =  R ( 1  /  y ) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
rlimcnp.0  |-  ( ph  ->  0  e.  A )
rlimcnp.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR+ )
rlimcnp.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
rlimcnp.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
rlimcnp.c  |-  ( x  =  0  ->  R  =  C )
rlimcnp.s  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  R  =  S )
rlimcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
rlimcnp.k  |-  K  =  ( Jt  A )
Assertion
Ref Expression
rlimcnp  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    ph, x, y   
y, R    x, S
Allowed substitution hints:    R( x)    S( y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem rlimcnp
Dummy variables  w  r  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpreccl 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( 1  /  r )  e.  RR+ )
21adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  r )  e.  RR+ )
3 rpreccl 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR+  ->  ( 1  /  t )  e.  RR+ )
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  t )  e.  RR+ )
5 rpcnne0 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  RR+  ->  ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 ) )
65adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 ) )
7 recrec 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  CC  /\  t  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  t ) )  =  t )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 1  / 
t ) )  =  t )
98eqcomd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  =  ( 1  /  (
1  /  t ) ) )
10 oveq2 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 1  / 
t )  ->  (
1  /  r )  =  ( 1  / 
( 1  /  t
) ) )
1110eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 1  / 
t )  ->  (
t  =  ( 1  /  r )  <->  t  =  ( 1  /  (
1  /  t ) ) ) )
1211rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  t
)  e.  RR+  /\  t  =  ( 1  / 
( 1  /  t
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  t  =  ( 1  / 
r ) )
134, 9, 12syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  t  =  ( 1  /  r ) )
14 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  t  =  ( 1  / 
r ) )
1514breq1d 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  (
t  <  y  <->  ( 1  /  r )  < 
y ) )
1615imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  (
( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
1716ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  ( 1  /  r
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
182, 13, 17rexxfrd 4729 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( (
1  /  r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z ) ) )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  <->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( ( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
20 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  r  e.  RR+ )
21 rlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  RR+ )
2221sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR+ )
2322adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR+ )
24 elrp 10603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
25 elrp 10603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  <->  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )
26 ltrec1 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( 1  / 
r )  <  y  <->  ( 1  /  y )  <  r ) )
2724, 25, 26syl2anb 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  r
)  <  y  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
2820, 23, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1  /  r
)  <  y  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
2928imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
3029ralbidva 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  (
( 1  /  r
)  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( (
1  /  y )  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z ) ) )
3130adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
32 rpcn 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
33 rpne0 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
3432, 33recrecd 9776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  =  y )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  ( 1  /  y ) )  =  y )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3735, 36eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  ( 1  /  y ) )  e.  B )
38 rpreccl 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
3922, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  RR+ )
40 rlimcnp.d . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
4140ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B
) )
43 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  e.  A  <->  ( 1  /  y )  e.  A ) )
44 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( 1  /  y
) ) )
4544eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 1  /  x
)  e.  B  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) )
4643, 45bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B )  <->  ( (
1  /  y )  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) ) )
4746rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B )  ->  (
( 1  /  y
)  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) ) )
4839, 42, 47sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1  /  y
)  e.  A  <->  ( 1  /  ( 1  / 
y ) )  e.  B ) )
4937, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  A )
5039rpne0d 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  =/=  0 )
51 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  y )  e.  ( A  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  / 
y )  e.  A  /\  ( 1  /  y
)  =/=  0 ) )
5249, 50, 51sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
1  /  y )  e.  ( A  \  { 0 } ) )
53 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  e.  A
)
5453adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  A )
55 0re 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
56 pnfxr 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
57 icossre 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
5855, 56, 57mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
59 rlimcnp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
6059ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  \  {
0 } )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
6160sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6258, 61sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
63 elico2 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) ) )
6455, 56, 63mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x  /\  x  <  +oo ) )
6564simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  x )
6661, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  x )
67 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
6962, 66, 68ne0gt0d 9199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
0  <  x )
7062, 69elrpd 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170, 40syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  A  <->  ( 1  /  x )  e.  B ) )
7254, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  B )
73 rpcn 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
74 rpne0 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
7573, 74recrecd 9776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( 1  /  x ) )  =  x )
7670, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  x ) )  =  x )
7776eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( 1  /  ( 1  /  x ) ) )
78 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( 1  /  x
) ) )
7978eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  (
x  =  ( 1  /  y )  <->  x  =  ( 1  /  (
1  /  x ) ) ) )
8079rspcev 3044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  x
)  e.  B  /\  x  =  ( 1  /  ( 1  /  x ) ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( 1  /  y ) )
8172, 77, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  { 0 } ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( 1  /  y ) )
82 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  <  r  <->  ( 1  /  y )  < 
r ) )
83 rlimcnp.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  R  =  S )
8483oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( R  -  C )  =  ( S  -  C ) )
8584fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  =  ( abs `  ( S  -  C )
) )
8685breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z  <->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
8782, 86imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
8887adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( 1  /  y
) )  ->  (
( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
8952, 81, 88ralxfrd 4728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  /  y
)  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  A. y  e.  B  ( ( 1  / 
y )  <  r  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
9131, 90bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  ( A 
\  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
92 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { 0 }  ->  x  =  0 )
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  x  =  0 )
94 rlimcnp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  R  =  C )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  R  =  C )
9695oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( R  -  C )  =  ( C  -  C ) )
97 rlimcnp.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  e.  A )
98 rlimcnp.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
9998ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
10094eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( R  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
101100rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
10297, 99, 101sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
103102subidd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C  -  C
)  =  0 )
104103ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( C  -  C )  =  0 )
10596, 104eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( R  -  C )  =  0 )
106105abs00bd 12084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  =  0 )
107 rpgt0 10612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR+  ->  0  < 
z )
108107ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  0  <  z
)
109106, 108eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
110109a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  x  e.  { 0 } )  ->  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) )
111110ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  { 0 }  (
x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  z ) )
112111adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  { 0 }  (
x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  z ) )
113112biantrud 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  ( A. x  e.  ( A  \  {
0 } ) ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  /\  A. x  e.  {
0 }  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z ) ) ) )
114 ralunb 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ( A  \  { 0 } )  u.  { 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z )  <->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  /\  A. x  e.  {
0 }  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
z ) ) )
115113, 114syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  { 0 } ) ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
)  <->  A. x  e.  ( ( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
116 undif1 3695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { 0 } )  u.  {
0 } )  =  ( A  u.  {
0 } )
11797ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  e.  A )
118117snssd 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { 0 }  C_  A )
119 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 0 }  C_  A  <->  ( A  u.  { 0 } )  =  A )
120118, 119sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A  u.  { 0 } )  =  A )
121116, 120syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } )  =  A )
122121raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  (
( A  \  {
0 } )  u. 
{ 0 } ) ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
12391, 115, 1223bitrd 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR+ )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( 1  / 
r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
124123rexbidva 2714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. r  e.  RR+  A. y  e.  B  ( (
1  /  r )  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  < 
z )  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
12519, 124bitrd 245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  <  r  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
) )
126125ralbidva 2713 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
127 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r
128 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w )
129 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs  o.  -  )
130 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 )
131128, 129, 130nfov 6095 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )
132 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  <
133 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
z
134131, 132, 133nfbr 4248 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z
135127, 134nfim 1832 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )
136 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )
137 oveq1 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 ) )
138137breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  <->  ( x
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r
) )
139 fveq2 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  w
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) )
140139oveq1d 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) ) )
141140breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs  o.  -  ) ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 0 ) )  <  z ) )
142138, 141imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  ( (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) )
143135, 136, 142cbvral 2920 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  A  (
( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  A. x  e.  A  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) )
144 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
14597adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  A )
146144, 145ovresd 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( x ( abs  o.  -  ) 0 ) )
14759, 58syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
148 ax-resscn 9036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
149147, 148syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
150149sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
151149adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  CC )
152151, 145sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  CC )
153 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
154153cnmetdval 18793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( x  -  0 ) ) )
155150, 152, 154syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
x  -  0 ) ) )
156150subid1d 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x  -  0 )  =  x )
157156fveq2d 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( x  - 
0 ) )  =  ( abs `  x
) )
158146, 155, 1573eqtrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  ( abs `  x ) )
159147sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
16059sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
161160, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  x )
162159, 161absidd 12213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  x )  =  x )
163158, 162eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  =  x )
164163breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  <->  x  <  r ) )
165 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
166165fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
167144, 98, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
168102adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
16994, 165fvmptg 5795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 )  =  C )
170145, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
)  =  C )
171167, 170oveq12d 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( R ( abs  o.  -  ) C ) )
172153cnmetdval 18793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
17398, 168, 172syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( abs  o.  -  ) C )  =  ( abs `  ( R  -  C )
) )
174171, 173eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  =  ( abs `  ( R  -  C ) ) )
175174breq1d 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z  <->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  z )
)
176164, 175imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
177176ralbidva 2713 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
178143, 177syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
179178rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z )  <->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  < 
r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
180179ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. x  e.  A  ( x  <  r  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  z
) ) )
18198, 165fmptd 5884 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
182181biantrurd 495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
183126, 180, 1823bitr2d 273 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) 0 )  <  r  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  w ) ( abs 
o.  -  ) (
( x  e.  A  |->  R ) `  0
) )  <  z
) ) ) )
18499adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
18583eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( R  e.  CC  <->  S  e.  CC ) )
186185rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  S  e.  CC ) )
18749, 184, 186sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
188187ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  S  e.  CC )
189 rpssre 10611 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
19021, 189syl6ss 3352 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
191 1re 9079 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
192191a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
193188, 190, 102, 192rlim3 12280 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
194 0xr 9120 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
195 0lt1 9539 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
196 df-ioo 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
197 df-ico 10911 . . . . . . . . . . 11  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
198 xrltletr 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
199196, 197, 198ixxss1 10923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  ( 0 (,)  +oo ) )
200194, 195, 199mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  (
0 (,)  +oo )
201 ioorp 10977 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
202200, 201sseqtri 3372 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
203 ssrexv 3400 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z ) ) )
204202, 203ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_ 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
205 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  t  e.  RR+ )
206189, 205sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  t  e.  RR )
207190adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  B  C_  RR )
208207sselda 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
209 ltle 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( t  <  y  ->  t  <_  y )
)
210206, 208, 209syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
t  <  y  ->  t  <_  y ) )
211210imim1d 71 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  y  e.  B )  ->  (
( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
212211ralimdva 2776 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  B  (
t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C ) )  <  z )  ->  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
213212reximdva 2810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
214204, 213syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )
) )
215214ralimdv 2777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  ( 1 [,)  +oo ) A. y  e.  B  ( t  <_  y  ->  ( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
216193, 215sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
217 ssrexv 3400 . . . . . . 7  |-  ( RR+  C_  RR  ->  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
218189, 217ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
219218ralimi 2773 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
)  ->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) )
220188, 190, 102rlim2lt 12279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
221219, 220syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  <  y  -> 
( abs `  ( S  -  C )
)  <  z )  ->  ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C
) )
222216, 221impbid 184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  A. z  e.  RR+  E. t  e.  RR+  A. y  e.  B  ( t  < 
y  ->  ( abs `  ( S  -  C
) )  <  z
) ) )
223 cnxmet 18795 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
224 xmetres2 18379 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A ) )
225223, 149, 224sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A ) )
226223a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
227 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )
228 rlimcnp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
229228cnfldtopn 18804 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
230227, 229metcnp2 18560 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
231225, 226, 97, 230syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) `
 0 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. z  e.  RR+  E. r  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) 0 )  <  r  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 w ) ( abs  o.  -  )
( ( x  e.  A  |->  R ) ` 
0 ) )  < 
z ) ) ) )
232183, 222, 2313bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
) ) )
233 rlimcnp.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  A )
234 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
235234, 229, 227metrest 18542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
236223, 149, 235sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
237233, 236syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) ) )
238237oveq1d 6087 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  J
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) )
239238fveq1d 5721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  J ) `  0 )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) ) )  CnP  J ) `
 0 ) )
240239eleq2d 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  0 )  <-> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )  CnP 
J ) `  0
) ) )
241232, 240bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4867    |` cres 4871    o. ccom 4873   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    +oocpnf 9106   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,)cico 10907   abscabs 12027    ~~> r crli 12267   ↾t crest 13636   TopOpenctopn 13637   * Metcxmt 16674   MetOpencmopn 16679  ℂfldccnfld 16691    CnP ccnp 17277
This theorem is referenced by:  rlimcnp2  20793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-fz 11033  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-rlim 12271  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cnp 17280
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