Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Unicode version

Theorem rlimcnp2 20261
 Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a
rlimcnp2.0
rlimcnp2.b
rlimcnp2.c
rlimcnp2.r
rlimcnp2.d
rlimcnp2.s
rlimcnp2.j fld
rlimcnp2.k t
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . . . . 8
2 resmpt 5000 . . . . . . . 8
31, 2mp1i 11 . . . . . . 7
4 0xr 8878 . . . . . . . . . . 11
5 0lt1 9296 . . . . . . . . . . 11
6 df-ioo 10660 . . . . . . . . . . . 12
7 df-ico 10662 . . . . . . . . . . . 12
8 xrltletr 10488 . . . . . . . . . . . 12
96, 7, 8ixxss1 10674 . . . . . . . . . . 11
104, 5, 9mp2an 653 . . . . . . . . . 10
11 ioorp 10727 . . . . . . . . . 10
1210, 11sseqtri 3210 . . . . . . . . 9
13 sslin 3395 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8
15 resmpt 5000 . . . . . . . 8
1614, 15mp1i 11 . . . . . . 7
173, 16eqtr4d 2318 . . . . . 6
18 resres 4968 . . . . . 6
19 resres 4968 . . . . . 6
2017, 18, 193eqtr4g 2340 . . . . 5
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9
22 eqid 2283 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . 8
24 ffn 5389 . . . . . . . 8
2523, 24syl 15 . . . . . . 7
26 fnresdm 5353 . . . . . . 7
2725, 26syl 15 . . . . . 6
2827reseq1d 4954 . . . . 5
29 inss1 3389 . . . . . . . . . . 11
3029sseli 3176 . . . . . . . . . 10
3130, 21sylan2 460 . . . . . . . . 9
32 eqid 2283 . . . . . . . . 9
3331, 32fmptd 5684 . . . . . . . 8
34 frel 5392 . . . . . . . 8
3533, 34syl 15 . . . . . . 7
36 fdm 5393 . . . . . . . . 9
3733, 36syl 15 . . . . . . . 8
3829a1i 10 . . . . . . . 8
3937, 38eqsstrd 3212 . . . . . . 7
40 relssres 4992 . . . . . . 7
4135, 39, 40syl2anc 642 . . . . . 6
4241reseq1d 4954 . . . . 5
4320, 28, 423eqtr3d 2323 . . . 4
4443breq1d 4033 . . 3
45 rlimcnp2.b . . . 4
46 1re 8837 . . . . 5
4746a1i 10 . . . 4
4823, 45, 47rlimresb 12039 . . 3
4929, 45syl5ss 3190 . . . 4
5033, 49, 47rlimresb 12039 . . 3
5144, 48, 503bitr4d 276 . 2
52 inss2 3390 . . . . . . . . . . 11
5352a1i 10 . . . . . . . . . 10
5453sselda 3180 . . . . . . . . 9
5554rpreccld 10400 . . . . . . . 8
5655rpne0d 10395 . . . . . . 7
5756neneqd 2462 . . . . . 6
58 iffalse 3572 . . . . . 6
5957, 58syl 15 . . . . 5
60 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
61 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . 11
62 recrec 9457 . . . . . . . . . . 11
6354, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . 10
6460, 63sylan9eqr 2337 . . . . . . . . 9
6564eqcomd 2288 . . . . . . . 8
66 rlimcnp2.s . . . . . . . 8
6765, 66syl 15 . . . . . . 7
6867eqcomd 2288 . . . . . 6
6955, 68csbied 3123 . . . . 5
7059, 69eqtrd 2315 . . . 4
7170mpteq2dva 4106 . . 3
7271breq1d 4033 . 2
73 rlimcnp2.a . . . 4
74 rlimcnp2.0 . . . 4
75 rlimcnp2.c . . . . . 6
7675ad2antrr 706 . . . . 5
7773sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12
78 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13
79 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . 13
80 elico2 10714 . . . . . . . . . . . . 13
8178, 79, 80mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12
8277, 81sylib 188 . . . . . . . . . . 11
8382simp1d 967 . . . . . . . . . 10
8483adantr 451 . . . . . . . . 9
8582simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . 14
86 leloe 8908 . . . . . . . . . . . . . . 15
8778, 83, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
8885, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
8988ord 366 . . . . . . . . . . . 12
90 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12
9189, 90syl6ib 217 . . . . . . . . . . 11
9291con1d 116 . . . . . . . . . 10
9392imp 418 . . . . . . . . 9
9484, 93elrpd 10388 . . . . . . . 8
95 rpcnne0 10371 . . . . . . . . 9
96 recrec 9457 . . . . . . . . 9
9795, 96syl 15 . . . . . . . 8
9894, 97syl 15 . . . . . . 7
9998csbeq1d 3087 . . . . . 6
100 simplr 731 . . . . . . . . 9
101 simpll 730 . . . . . . . . . 10
102 rpreccl 10377 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
104 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14
105104ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
107 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14
108 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14
110107, 109bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
111110rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12
112103, 106, 111sylc 56 . . . . . . . . . . 11
11397adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
114113eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11
115112, 114bitr2d 245 . . . . . . . . . 10
116101, 94, 115syl2anc 642 . . . . . . . . 9
117100, 116mpbid 201 . . . . . . . 8
11894rpreccld 10400 . . . . . . . 8
119 elin 3358 . . . . . . . 8
120117, 118, 119sylanbrc 645 . . . . . . 7
12169, 31eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9
122121ralrimiva 2626 . . . . . . . 8
123122ad2antrr 706 . . . . . . 7
124108csbeq1d 3087 . . . . . . . . 9
125124eleq1d 2349 . . . . . . . 8
126125rspcv 2880 . . . . . . 7
127120, 123, 126sylc 56 . . . . . 6
12899, 127eqeltrrd 2358 . . . . 5
12976, 128ifclda 3592 . . . 4
130103biantrud 493 . . . . . 6
131115, 130bitrd 244 . . . . 5
132131, 119syl6bbr 254 . . . 4
133 iftrue 3571 . . . 4
134 eqeq1 2289 . . . . 5
135 csbeq1 3084 . . . . 5
136134, 135ifbieq2d 3585 . . . 4
137 rlimcnp2.j . . . 4 fld
138 rlimcnp2.k . . . 4 t
13973, 74, 53, 129, 132, 133, 136, 137, 138rlimcnp 20260 . . 3
140 nfcv 2419 . . . . 5
141 nfv 1605 . . . . . 6
142 nfcv 2419 . . . . . 6
143 nfcsb1v 3113 . . . . . 6
144141, 142, 143nfif 3589 . . . . 5
145 eqeq1 2289 . . . . . 6
146 csbeq1a 3089 . . . . . 6
147145, 146ifbieq2d 3585 . . . . 5
148140, 144, 147cbvmpt 4110 . . . 4
149148eleq1i 2346 . . 3
150139, 149syl6bbr 254 . 2
15151, 72, 1503bitr2d 272 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  csb 3081   cin 3151   wss 3152  cif 3565   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cdm 4689   cres 4691   wrel 4694   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cdiv 9423  crp 10354  cioo 10656  cico 10658   crli 11959   ↾t crest 13325  ctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   ccnp 16955 This theorem is referenced by:  rlimcnp3  20262 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
 Copyright terms: Public domain W3C validator