Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Structured version   Unicode version

Theorem rlimcnp2 20806
 Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a
rlimcnp2.0
rlimcnp2.b
rlimcnp2.c
rlimcnp2.r
rlimcnp2.d
rlimcnp2.s
rlimcnp2.j fld
rlimcnp2.k t
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3562 . . . . . . . 8
2 resmpt 5192 . . . . . . . 8
31, 2mp1i 12 . . . . . . 7
4 0xr 9132 . . . . . . . . . . 11
5 0lt1 9551 . . . . . . . . . . 11
6 df-ioo 10921 . . . . . . . . . . . 12
7 df-ico 10923 . . . . . . . . . . . 12
8 xrltletr 10748 . . . . . . . . . . . 12
96, 7, 8ixxss1 10935 . . . . . . . . . . 11
104, 5, 9mp2an 655 . . . . . . . . . 10
11 ioorp 10989 . . . . . . . . . 10
1210, 11sseqtri 3381 . . . . . . . . 9
13 sslin 3568 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8
15 resmpt 5192 . . . . . . . 8
1614, 15mp1i 12 . . . . . . 7
173, 16eqtr4d 2472 . . . . . 6
18 resres 5160 . . . . . 6
19 resres 5160 . . . . . 6
2017, 18, 193eqtr4g 2494 . . . . 5
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9
22 eqid 2437 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5894 . . . . . . . 8
24 ffn 5592 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
26 fnresdm 5555 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
2827reseq1d 5146 . . . . 5
29 inss1 3562 . . . . . . . . . . 11
3029sseli 3345 . . . . . . . . . 10
3130, 21sylan2 462 . . . . . . . . 9
32 eqid 2437 . . . . . . . . 9
3331, 32fmptd 5894 . . . . . . . 8
34 frel 5595 . . . . . . . 8
3533, 34syl 16 . . . . . . 7
36 fdm 5596 . . . . . . . . 9
3733, 36syl 16 . . . . . . . 8
3837, 29syl6eqss 3399 . . . . . . 7
39 relssres 5184 . . . . . . 7
4035, 38, 39syl2anc 644 . . . . . 6
4140reseq1d 5146 . . . . 5
4220, 28, 413eqtr3d 2477 . . . 4
4342breq1d 4223 . . 3
44 rlimcnp2.b . . . 4
45 1re 9091 . . . . 5
4645a1i 11 . . . 4
4723, 44, 46rlimresb 12360 . . 3
4829, 44syl5ss 3360 . . . 4
4933, 48, 46rlimresb 12360 . . 3
5043, 47, 493bitr4d 278 . 2
51 inss2 3563 . . . . . . . . . . 11
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10
5352sselda 3349 . . . . . . . . 9
5453rpreccld 10659 . . . . . . . 8
5554rpne0d 10654 . . . . . . 7
5655neneqd 2618 . . . . . 6
57 iffalse 3747 . . . . . 6
5856, 57syl 16 . . . . 5
59 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10
60 rpcnne0 10630 . . . . . . . . . . 11
61 recrec 9712 . . . . . . . . . . 11
6253, 60, 613syl 19 . . . . . . . . . 10
6359, 62sylan9eqr 2491 . . . . . . . . 9
6463eqcomd 2442 . . . . . . . 8
65 rlimcnp2.s . . . . . . . 8
6664, 65syl 16 . . . . . . 7
6766eqcomd 2442 . . . . . 6
6854, 67csbied 3294 . . . . 5
6958, 68eqtrd 2469 . . . 4
7069mpteq2dva 4296 . . 3
7170breq1d 4223 . 2
72 rlimcnp2.a . . . 4
73 rlimcnp2.0 . . . 4
74 rlimcnp2.c . . . . . 6
7574ad2antrr 708 . . . . 5
7672sselda 3349 . . . . . . . . . . . 12
77 0re 9092 . . . . . . . . . . . . 13
78 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . 13
79 elico2 10975 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 79mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12
8176, 80sylib 190 . . . . . . . . . . 11
8281simp1d 970 . . . . . . . . . 10
8382adantr 453 . . . . . . . . 9
8481simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
85 leloe 9162 . . . . . . . . . . . . . . 15
8677, 82, 85sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14
8784, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13
8887ord 368 . . . . . . . . . . . 12
89 eqcom 2439 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89syl6ib 219 . . . . . . . . . . 11
9190con1d 119 . . . . . . . . . 10
9291imp 420 . . . . . . . . 9
9383, 92elrpd 10647 . . . . . . . 8
94 rpcnne0 10630 . . . . . . . . 9
95 recrec 9712 . . . . . . . . 9
9694, 95syl 16 . . . . . . . 8
9793, 96syl 16 . . . . . . 7
9897csbeq1d 3258 . . . . . 6
99 simplr 733 . . . . . . . . 9
100 simpll 732 . . . . . . . . . 10
101 rpreccl 10636 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
103 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14
104103ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . 13
105104adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
106 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
107 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14
109106, 108bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . 13
110109rspcv 3049 . . . . . . . . . . . 12
111102, 105, 110sylc 59 . . . . . . . . . . 11
11296adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
113112eleq1d 2503 . . . . . . . . . . 11
114111, 113bitr2d 247 . . . . . . . . . 10
115100, 93, 114syl2anc 644 . . . . . . . . 9
11699, 115mpbid 203 . . . . . . . 8
11793rpreccld 10659 . . . . . . . 8
118 elin 3531 . . . . . . . 8
119116, 117, 118sylanbrc 647 . . . . . . 7
12068, 31eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9
121120ralrimiva 2790 . . . . . . . 8
122121ad2antrr 708 . . . . . . 7
123107csbeq1d 3258 . . . . . . . . 9
124123eleq1d 2503 . . . . . . . 8
125124rspcv 3049 . . . . . . 7
126119, 122, 125sylc 59 . . . . . 6
12798, 126eqeltrrd 2512 . . . . 5
12875, 127ifclda 3767 . . . 4
129102biantrud 495 . . . . . 6
130114, 129bitrd 246 . . . . 5
131130, 118syl6bbr 256 . . . 4
132 iftrue 3746 . . . 4
133 eqeq1 2443 . . . . 5
134 csbeq1 3255 . . . . 5
135133, 134ifbieq2d 3760 . . . 4
136 rlimcnp2.j . . . 4 fld
137 rlimcnp2.k . . . 4 t
13872, 73, 52, 128, 131, 132, 135, 136, 137rlimcnp 20805 . . 3
139 nfcv 2573 . . . . 5
140 nfv 1630 . . . . . 6
141 nfcv 2573 . . . . . 6
142 nfcsb1v 3284 . . . . . 6
143140, 141, 142nfif 3764 . . . . 5
144 eqeq1 2443 . . . . . 6
145 csbeq1a 3260 . . . . . 6
146144, 145ifbieq2d 3760 . . . . 5
147139, 143, 146cbvmpt 4300 . . . 4
148147eleq1i 2500 . . 3
149138, 148syl6bbr 256 . 2
15050, 71, 1493bitr2d 274 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  csb 3252   cin 3320   wss 3321  cif 3740   class class class wbr 4213   cmpt 4267   cdm 4879   cres 4881   wrel 4884   wfn 5450  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   cpnf 9118  cxr 9120   clt 9121   cle 9122   cdiv 9678  crp 10613  cioo 10917  cico 10919   crli 12280   ↾t crest 13649  ctopn 13650  ℂfldccnfld 16704   ccnp 17290 This theorem is referenced by:  rlimcnp3  20807 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-rlim 12284  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cnp 17293
 Copyright terms: Public domain W3C validator