MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp3 Structured version   Unicode version

Theorem rlimcnp3 20807
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function  S ( y )  =  R ( 1  /  y ) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp3.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
rlimcnp3.r  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
rlimcnp3.s  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  S  =  R )
rlimcnp3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
rlimcnp3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
Assertion
Ref Expression
rlimcnp3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  if ( x  =  0 ,  C ,  R ) )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    ph, x, y    y, R    x, S
Allowed substitution hints:    R( x)    S( y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem rlimcnp3
StepHypRef Expression
1 ssid 3368 . . 3  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,)  +oo )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3 0xr 9132 . . . 4  |-  0  e.  RR*
4 pnfxr 10714 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
5 0re 9092 . . . . 5  |-  0  e.  RR
6 ltpnf 10722 . . . . 5  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  0  <  +oo
8 lbico1 10967 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
93, 4, 7, 8mp3an 1280 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 rpssre 10623 . . 3  |-  RR+  C_  RR
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
13 rlimcnp3.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
14 rlimcnp3.r . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
15 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
16 rpreccl 10636 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1716adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1817rpred 10649 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1917rpge0d 10653 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( 1  /  y ) )
20 elrege0 11008 . . . 4  |-  ( ( 1  /  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
1  /  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  y
) ) )
2118, 19, 20sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2215, 212thd 233 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  RR+  <->  ( 1  / 
y )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
23 rlimcnp3.s . 2  |-  ( y  =  ( 1  /  x )  ->  S  =  R )
24 rlimcnp3.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
25 rlimcnp3.k . 2  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
262, 10, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 25rlimcnp2 20806 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  S )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  if ( x  =  0 ,  C ,  R ) )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   ifcif 3740   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    +oocpnf 9118   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    / cdiv 9678   RR+crp 10613   [,)cico 10919    ~~> r crli 12280   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ℂfldccnfld 16704    CnP ccnp 17290
This theorem is referenced by:  efrlim  20809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-rlim 12284  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cnp 17293
  Copyright terms: Public domain W3C validator