Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdm Unicode version

Theorem rlimdm 12025
 Description: Two ways to express that a function has a limit. (The expression is sometimes useful as a shorthand for "the unique limit of the function "). (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
Assertion
Ref Expression
rlimdm

Proof of Theorem rlimdm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 4874 . . . 4
21ibi 232 . . 3
3 simpr 447 . . . . . 6
4 df-fv 5263 . . . . . . 7
5 vex 2791 . . . . . . . 8
6 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . 14
76adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
8 rlimuni.2 . . . . . . . . . . . . . 14
98adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
10 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13
11 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
127, 9, 10, 11rlimuni 12024 . . . . . . . . . . . 12
1312expr 598 . . . . . . . . . . 11
14 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12
153, 14syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11
1613, 15impbid 183 . . . . . . . . . 10
1716adantr 451 . . . . . . . . 9
1817iota5 5239 . . . . . . . 8
195, 18mpan2 652 . . . . . . 7
204, 19syl5eq 2327 . . . . . 6
213, 20breqtrrd 4049 . . . . 5
2221ex 423 . . . 4
2322exlimdv 1664 . . 3
242, 23syl5 28 . 2
25 rlimrel 11967 . . 3
2625releldmi 4915 . 2
2724, 26impbid1 194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   class class class wbr 4023   cdm 4689  cio 5217  wf 5251  cfv 5255  csup 7193  cc 8735   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   crli 11959 This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  12147  caucvg  12151  dchrisum0lem3  20668 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963
 Copyright terms: Public domain W3C validator