MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Unicode version

Theorem rlimi2 11988
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
rlimi.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
rlimi.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimi.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimi2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B    y, C, z    ph, y    y, R, z    y, D, z   
z, V
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    V( y)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
2 rlimi.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3 rlimi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
41, 2, 3rlimi 11987 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
65fnmpt 5370 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  V  ->  ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A )
7 fndm 5343 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
81, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 11976 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
103, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3213 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
13 rexico 11837 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  R
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
154, 14mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   [,)cico 10658   abscabs 11719    ~~> r crli 11959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-rlim 11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator