MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Unicode version

Theorem rlimi2 12084
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
rlimi.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
rlimi.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimi.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimi2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B    y, C, z    ph, y    y, R, z    y, D, z   
z, V
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    V( y)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
2 rlimi.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3 rlimi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
41, 2, 3rlimi 12083 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) )
5 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
65fnmpt 5452 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  V  ->  ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A )
7 fndm 5425 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
81, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 12072 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
103, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3289 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
13 rexico 11933 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  R
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
154, 14mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   dom cdm 4771    Fn wfn 5332   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826    +oocpnf 8954    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127   RR+crp 10446   [,)cico 10750   abscabs 11815    ~~> r crli 12055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-ico 10754  df-rlim 12059
  Copyright terms: Public domain W3C validator