MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Unicode version

Theorem rlimi2 12263
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
rlimi.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
rlimi.3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimi.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimi2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B    y, C, z    ph, y    y, R, z    y, D, z   
z, V
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( z)    V( y)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  B  e.  V )
2 rlimi.2 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3 rlimi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
41, 2, 3rlimi 12262 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  |->  B )  =  ( z  e.  A  |->  B )
65fnmpt 5530 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  B  e.  V  ->  ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A )
7 fndm 5503 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
81, 6, 73syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 12251 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
103, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( z  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3343 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
13 rexico 12112 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  R
)  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )  <->  E. y  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C ) )  <  R ) ) )
154, 14mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( D [,)  +oo ) A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   RR+crp 10568   [,)cico 10874   abscabs 11994    ~~> r crli 12234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ico 10878  df-rlim 12238
  Copyright terms: Public domain W3C validator