MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimneg Unicode version

Theorem rlimneg 12395
Description: Limit of the negative of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimneg.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
rlimneg.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
Assertion
Ref Expression
rlimneg  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |-> 
-u B )  ~~> r  -u C )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    V( k)

Proof of Theorem rlimneg
StepHypRef Expression
1 0cn 9040 . . . 4  |-  0  e.  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
3 rlimneg.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  V )
4 rlimneg.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
53, 4rlimmptrcl 12356 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
63ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  V )
7 dmmptg 5326 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
k  e.  A  |->  B )  =  A )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  =  A )
9 rlimss 12251 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  |->  B )  ~~> r  C  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  C_  RR )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  A  |->  B )  C_  RR )
118, 10eqsstr3d 3343 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
12 rlimconst 12293 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
k  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
1311, 1, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
142, 5, 13, 4rlimsub 12392 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( 0  -  B
) )  ~~> r  ( 0  -  C ) )
15 df-neg 9250 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
1615mpteq2i 4252 . 2  |-  ( k  e.  A  |->  -u B
)  =  ( k  e.  A  |->  ( 0  -  B ) )
17 df-neg 9250 . 2  |-  -u C  =  ( 0  -  C )
1814, 16, 173brtr4g 4204 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |-> 
-u B )  ~~> r  -u C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    - cmin 9247   -ucneg 9248    ~~> r crli 12234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rlim 12238
  Copyright terms: Public domain W3C validator