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Theorem rlimno1 12143
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimno1.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
rlimno1.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimno1.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimno1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1313 . . . 4  |-  -.  F.
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
42, 3reccld 9545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
54ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B
)  e.  CC )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B )  e.  CC )
7 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
8 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
9 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
y ,  y ,  1 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
11 1rp 10374 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
1211a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR+ )
13 max1 10530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
148, 7, 13sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
1510, 12, 14rpgecld 10441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
1615rpreccld 10416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR+ )
17 rlimno1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0 )
196, 16, 18rlimi 12003 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
20 dmmptg 5186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
1  /  B )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  =  A )
215, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  =  A )
22 rlimss 11992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  C_  RR )
2317, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  C_  RR )
2421, 23eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
26 rexanre 11846 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
29 ressxr 8892 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
3024, 29syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
31 supxrunb1 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3328, 32mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x )
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x
)
35 r19.29 2696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
36 r19.29r 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  (
( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
372adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
383adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
3937, 38absrpcld 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
428a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  RR )
43 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
4443a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  0  <_  1 )
4540rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
467ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
4710ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  y
)
49 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
508, 46, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5145, 46, 47, 48, 50letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5240, 41, 42, 44, 51lediv2ad 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <_  ( 1  / 
( abs `  B
) ) )
5341rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR )
5440rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  e.  RR )
5553, 54lenltd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) )  <_  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
5652, 55mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
5737adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  e.  CC )
5838adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  =/=  0 )
5957, 58reccld 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  B )  e.  CC )
6059subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  B )  -  0 )  =  ( 1  /  B
) )
6160fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( 1  /  B ) ) )
6242recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  CC )
6362, 57, 58absdivd 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( 1  /  B
) )  =  ( ( abs `  1
)  /  ( abs `  B ) ) )
6442, 44absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  1 )  =  1 )
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  1 )  / 
( abs `  B
) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6661, 63, 653eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6766breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <  (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) ) ) )
6856, 67mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
6968pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  ->  F.  ) )
7069expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  B
)  <_  y  /\  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  ->  F.  ) )
7170ancomsd 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )  ->  F.  ) )
7271imim2d 48 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  ( c  <_  x  ->  F.  )
) )
7372com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
c  <_  x  ->  ( ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  F.  )
) )
7473imp3a 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7574rexlimdva 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7636, 75syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7776rexlimdvw 2683 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7835, 77syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  F.  ) )
7934, 78mpand 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  F.  )
)
8027, 79sylbird 226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )  ->  F.  ) )
8119, 80mpand 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y )  ->  F.  ) )
821, 81mtoi 169 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -.  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
) )
8382nrexdv 2659 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
)
8424, 2elo1mpt 12024 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
85 rexcom 2714 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )
8684, 85syl6bb 252 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
8783, 86mtbird 292 1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    F. wfal 1308    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   RR+crp 10370   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   O ( 1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  logno1  19999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981
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