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Theorem rlimno1 12449
Description: A function whose inverse converges to zero is unbounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimno1.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimno1.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
rlimno1.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimno1.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rlimno1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimno1
Dummy variables  c 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fal 1332 . . . 4  |-  -.  F.
2 rlimno1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 rlimno1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
42, 3reccld 9785 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  /  B )  e.  CC )
54ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B
)  e.  CC )
65adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( 1  /  B )  e.  CC )
7 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
8 1re 9092 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
9 ifcl 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
y ,  y ,  1 )  e.  RR )
107, 8, 9sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
11 1rp 10618 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR+ )
13 max1 10775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
148, 7, 13sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
1510, 12, 14rpgecld 10685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
1615rpreccld 10660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR+ )
17 rlimno1.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  ~~> r  0 )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0 )
196, 16, 18rlimi 12309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
20 dmmptg 5369 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
1  /  B )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  =  A )
215, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  =  A )
22 rlimss 12298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  ~~> r  0  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B
) )  C_  RR )
2317, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( 1  /  B ) )  C_  RR )
2421, 23eqsstr3d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2524adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
26 rexanre 12152 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  <->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
28 rlimno1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
29 ressxr 9131 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
3024, 29syl6ss 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
31 supxrunb1 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3328, 32mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x )
3433adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x
)
35 r19.29 2848 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
36 r19.29r 2849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  (
( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) ) )
372adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
383adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
3937, 38absrpcld 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
4115ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR+ )
428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  RR )
43 0le1 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  0  <_  1 )
4540rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
467ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
4710ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  if (
1  <_  y , 
y ,  1 )  e.  RR )
48 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  y
)
49 max2 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
1  <_  y , 
y ,  1 ) )
508, 46, 49sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  y  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5145, 46, 47, 48, 50letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  B )  <_  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )
5240, 41, 42, 44, 51lediv2ad 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <_  ( 1  / 
( abs `  B
) ) )
5341rprecred 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  e.  RR )
5440rprecred 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  e.  RR )
5553, 54lenltd 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) )  <_  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) ) )
5652, 55mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  (
1  /  ( abs `  B ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
5737adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  e.  CC )
5838adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  B  =/=  0 )
5957, 58reccld 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( 1  /  B )  e.  CC )
6059subid1d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( (
1  /  B )  -  0 )  =  ( 1  /  B
) )
6160fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( 1  /  B ) ) )
6242recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  1  e.  CC )
6362, 57, 58absdivd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( 1  /  B
) )  =  ( ( abs `  1
)  /  ( abs `  B ) ) )
6442, 44absidd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  1 )  =  1 )
6564oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  1 )  / 
( abs `  B
) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6661, 63, 653eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  =  ( 1  /  ( abs `  B ) ) )
6766breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  <->  ( 1  /  ( abs `  B
) )  <  (
1  /  if ( 1  <_  y , 
y ,  1 ) ) ) )
6856, 67mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  -.  ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )
6968pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  ( abs `  B )  <_  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  ->  F.  ) )
7069expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  B
)  <_  y  /\  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  ->  F.  ) )
7170ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )  ->  F.  ) )
7271imim2d 51 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  ( c  <_  x  ->  F.  )
) )
7372com23 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
c  <_  x  ->  ( ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  F.  )
) )
7473imp3a 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7574rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  A  ( c  <_  x  /\  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7636, 75syl5 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7776rexlimdvw 2835 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  ( E. x  e.  A  c  <_  x  /\  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
) )  ->  F.  ) )
7835, 77syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( A. c  e.  RR  E. x  e.  A  c  <_  x  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( ( abs `  ( ( 1  /  B )  - 
0 ) )  < 
( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B )  <_ 
y ) ) )  ->  F.  ) )
7934, 78mpand 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  B
)  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) )  /\  ( abs `  B
)  <_  y )
)  ->  F.  )
)
8027, 79sylbird 228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  ( ( 1  /  B )  -  0 ) )  <  ( 1  /  if ( 1  <_  y ,  y ,  1 ) ) )  /\  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )  ->  F.  ) )
8119, 80mpand 658 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y )  ->  F.  ) )
821, 81mtoi 172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -.  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
) )
8382nrexdv 2811 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B
)  <_  y )
)
8424, 2elo1mpt 12330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
85 rexcom 2871 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  ( c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y
)  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) )
8684, 85syl6bb 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. c  e.  RR  A. x  e.  A  (
c  <_  x  ->  ( abs `  B )  <_  y ) ) )
8783, 86mtbird 294 1  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    F. wfal 1327    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   RR+crp 10614   abscabs 12041    ~~> r crli 12281   O ( 1 )co1 12282
This theorem is referenced by:  logno1  20529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-rlim 12285  df-o1 12286  df-lo1 12287
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