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Theorem rlimrege0 12260
Description: The limit of a sequence of complexes with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimrege0.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimrege0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
Assertion
Ref Expression
rlimrege0  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimrege0
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
2 rlimcld2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
3 ssrab2 3344 . . . 4  |-  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  C_  CC
43a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) }  C_  CC )
5 eldifi 3385 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  y  e.  CC )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  y  e.  CC )
76recld 11886 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( Re `  y )  e.  RR )
87renegcld 9357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -u ( Re `  y )  e.  RR )
9 fveq2 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  y ) )
109breq2d 4137 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
1110notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  0  <_  ( Re
`  w )  <->  -.  0  <_  ( Re `  y
) ) )
12 notrab 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } )  =  { w  e.  CC  |  -.  0  <_  (
Re `  w ) }
1311, 12elrab2 3011 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  <->  ( y  e.  CC  /\  -.  0  <_  ( Re `  y
) ) )
1413simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -.  0  <_  ( Re `  y ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -.  0  <_  ( Re `  y ) )
16 0re 8985 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 ltnle 9049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  y )  <  0  <->  -.  0  <_  ( Re `  y ) ) )
187, 16, 17sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( ( Re
`  y )  <  0  <->  -.  0  <_  ( Re `  y ) ) )
1915, 18mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( Re `  y )  <  0
)
207lt0neg1d 9489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( ( Re
`  y )  <  0  <->  0  <  -u (
Re `  y )
) )
2119, 20mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  0  <  -u (
Re `  y )
)
228, 21elrpd 10539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -u ( Re `  y )  e.  RR+ )
238adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  e.  RR )
243sseli 3262 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  z  e.  CC )
2524adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  z  e.  CC )
266adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  y  e.  CC )
2725, 26subcld 9304 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
2827recld 11886 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
2927abscld 12125 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
3016a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  0  e.  RR )
3125recld 11886 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
3226recld 11886 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
33 fveq2 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  z ) )
3433breq2d 4137 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  z ) ) )
3534elrab 3009 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( z  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  z
) ) )
3635simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  0  <_  ( Re `  z
) )
3736adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  0  <_  ( Re `  z
) )
3830, 31, 32, 37lesub1dd 9535 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
0  -  ( Re
`  y ) )  <_  ( ( Re
`  z )  -  ( Re `  y ) ) )
39 df-neg 9187 . . . . . 6  |-  -u (
Re `  y )  =  ( 0  -  ( Re `  y
) )
4039a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  =  ( 0  -  ( Re `  y
) ) )
4125, 26resubd 11908 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  -  ( Re `  y ) ) )
4238, 40, 413brtr4d 4155 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  <_  ( Re `  (
z  -  y ) ) )
4327releabsd 12140 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
4423, 28, 29, 42, 43letrd 9120 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
45 rlimrege0.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
46 rlimrege0.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
47 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  B ) )
4847breq2d 4137 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
4948elrab 3009 . . . 4  |-  ( B  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( B  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) )
5045, 46, 49sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )
511, 2, 4, 22, 44, 50rlimcld2 12259 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } )
52 fveq2 5632 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  C ) )
5352breq2d 4137 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  C ) ) )
5453elrab 3009 . . 3  |-  ( C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( C  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) )
5554simprbi 450 . 2  |-  ( C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  0  <_  ( Re `  C
) )
5651, 55syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632    \ cdif 3235    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   supcsup 7340   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884    +oocpnf 9011   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   -ucneg 9185   Recre 11789   abscabs 11926    ~~> r crli 12166
This theorem is referenced by:  rlimge0  12262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-rlim 12170
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