Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimrege0 Structured version   Unicode version

Theorem rlimrege0 12378
 Description: The limit of a sequence of complexes with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1
rlimcld2.2
rlimrege0.4
rlimrege0.5
Assertion
Ref Expression
rlimrege0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rlimrege0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . . 3
2 rlimcld2.2 . . 3
3 ssrab2 3430 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 eldifi 3471 . . . . . . 7
65adantl 454 . . . . . 6
76recld 12004 . . . . 5
87renegcld 9469 . . . 4
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
109breq2d 4227 . . . . . . . . . 10
1110notbid 287 . . . . . . . . 9
12 notrab 3620 . . . . . . . . 9
1311, 12elrab2 3096 . . . . . . . 8
1413simprbi 452 . . . . . . 7
1514adantl 454 . . . . . 6
16 0re 9096 . . . . . . 7
17 ltnle 9160 . . . . . . 7
187, 16, 17sylancl 645 . . . . . 6
1915, 18mpbird 225 . . . . 5
207lt0neg1d 9601 . . . . 5
2119, 20mpbid 203 . . . 4
228, 21elrpd 10651 . . 3
238adantr 453 . . . 4
24 elrabi 3092 . . . . . . 7
2524adantl 454 . . . . . 6
266adantr 453 . . . . . 6
2725, 26subcld 9416 . . . . 5
2827recld 12004 . . . 4
2927abscld 12243 . . . 4
3016a1i 11 . . . . . 6
3125recld 12004 . . . . . 6
3226recld 12004 . . . . . 6
33 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
3433breq2d 4227 . . . . . . . . 9
3534elrab 3094 . . . . . . . 8
3635simprbi 452 . . . . . . 7
3736adantl 454 . . . . . 6
3830, 31, 32, 37lesub1dd 9647 . . . . 5
39 df-neg 9299 . . . . . 6
4039a1i 11 . . . . 5
4125, 26resubd 12026 . . . . 5
4238, 40, 413brtr4d 4245 . . . 4
4327releabsd 12258 . . . 4
4423, 28, 29, 42, 43letrd 9232 . . 3
45 rlimrege0.4 . . . 4
46 rlimrege0.5 . . . 4
47 fveq2 5731 . . . . . 6
4847breq2d 4227 . . . . 5
4948elrab 3094 . . . 4
5045, 46, 49sylanbrc 647 . . 3
511, 2, 4, 22, 44, 50rlimcld2 12377 . 2
52 fveq2 5731 . . . . 5
5352breq2d 4227 . . . 4
5453elrab 3094 . . 3
5554simprbi 452 . 2
5651, 55syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711   cdif 3319   wss 3322   class class class wbr 4215   cmpt 4269  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cc 8993  cr 8994  cc0 8995   cpnf 9122  cxr 9124   clt 9125   cle 9126   cmin 9296  cneg 9297  cre 11907  cabs 12044   crli 12284 This theorem is referenced by:  rlimge0  12380 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-rlim 12288
 Copyright terms: Public domain W3C validator