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Theorem rlimrege0 12378
Description: The limit of a sequence of complexes with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcld2.1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
rlimcld2.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
rlimrege0.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimrege0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
Assertion
Ref Expression
rlimrege0  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rlimrege0
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcld2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
2 rlimcld2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  C
)
3 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  C_  CC
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) }  C_  CC )
5 eldifi 3471 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  y  e.  CC )
65adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  y  e.  CC )
76recld 12004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( Re `  y )  e.  RR )
87renegcld 9469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -u ( Re `  y )  e.  RR )
9 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  y ) )
109breq2d 4227 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
1110notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  0  <_  ( Re
`  w )  <->  -.  0  <_  ( Re `  y
) ) )
12 notrab 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } )  =  { w  e.  CC  |  -.  0  <_  (
Re `  w ) }
1311, 12elrab2 3096 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  <->  ( y  e.  CC  /\  -.  0  <_  ( Re `  y
) ) )
1413simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -.  0  <_  ( Re `  y ) )
1514adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -.  0  <_  ( Re `  y ) )
16 0re 9096 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
17 ltnle 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( Re `  y )  <  0  <->  -.  0  <_  ( Re `  y ) ) )
187, 16, 17sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( ( Re
`  y )  <  0  <->  -.  0  <_  ( Re `  y ) ) )
1915, 18mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( Re `  y )  <  0
)
207lt0neg1d 9601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  ( ( Re
`  y )  <  0  <->  0  <  -u (
Re `  y )
) )
2119, 20mpbid 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  0  <  -u (
Re `  y )
)
228, 21elrpd 10651 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( CC  \  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } ) )  ->  -u ( Re `  y )  e.  RR+ )
238adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  e.  RR )
24 elrabi 3092 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  z  e.  CC )
2524adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  z  e.  CC )
266adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  y  e.  CC )
2725, 26subcld 9416 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
2827recld 12004 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
2927abscld 12243 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
3016a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  0  e.  RR )
3125recld 12004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
3226recld 12004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
33 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  z ) )
3433breq2d 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  z ) ) )
3534elrab 3094 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( z  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  z
) ) )
3635simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  0  <_  ( Re `  z
) )
3736adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  0  <_  ( Re `  z
) )
3830, 31, 32, 37lesub1dd 9647 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
0  -  ( Re
`  y ) )  <_  ( ( Re
`  z )  -  ( Re `  y ) ) )
39 df-neg 9299 . . . . . 6  |-  -u (
Re `  y )  =  ( 0  -  ( Re `  y
) )
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  =  ( 0  -  ( Re `  y
) ) )
4125, 26resubd 12026 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  -  ( Re `  y ) ) )
4238, 40, 413brtr4d 4245 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  <_  ( Re `  (
z  -  y ) ) )
4327releabsd 12258 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  (
Re `  ( z  -  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
4423, 28, 29, 42, 43letrd 9232 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( CC  \  {
w  e.  CC  | 
0  <_  ( Re `  w ) } ) )  /\  z  e. 
{ w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )  ->  -u (
Re `  y )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
45 rlimrege0.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
46 rlimrege0.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
47 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  B ) )
4847breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
4948elrab 3094 . . . 4  |-  ( B  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( B  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) )
5045, 46, 49sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  { w  e.  CC  |  0  <_  (
Re `  w ) } )
511, 2, 4, 22, 44, 50rlimcld2 12377 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) } )
52 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  C ) )
5352breq2d 4227 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
0  <_  ( Re `  w )  <->  0  <_  ( Re `  C ) ) )
5453elrab 3094 . . 3  |-  ( C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  <->  ( C  e.  CC  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) )
5554simprbi 452 . 2  |-  ( C  e.  { w  e.  CC  |  0  <_ 
( Re `  w
) }  ->  0  <_  ( Re `  C
) )
5651, 55syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   Recre 11907   abscabs 12044    ~~> r crli 12284
This theorem is referenced by:  rlimge0  12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-rlim 12288
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