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Theorem rlimsqzlem 12138
Description: Lemma for rlimsqz 12139 and rlimsqz2 12140. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
rlimsqzlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
rlimsqzlem.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimsqzlem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimsqzlem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
rlimsqzlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, E    ph, x    x, M
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
32ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
42ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  RR )
5 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
z  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
76simprbda 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  -> 
z  e.  RR )
87adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  e.  RR )
9 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
119, 10fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
12 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
14 rlimss 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
151, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1613, 15eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  RR )
1817sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
206simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  ->  M  <_  z )
2120adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  z )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  <_  x )
233, 8, 19, 21, 22letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  x )
24 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2524anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <_ 
( abs `  ( B  -  D )
) )
2625adantllr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2723, 26syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <_  ( abs `  ( B  -  D ) ) )
28 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
29 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  e.  CC )
3128, 30subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
3231abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3332adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  e.  RR )
35 rlimcl 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
361, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  CC )
389, 37subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  D )  e.  CC )
3938abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4039adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  e.  RR )
42 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4342ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  y  e.  RR )
45 lelttr 8928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( C  -  E )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4634, 41, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4727, 46mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) )
4847expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
4948an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
5049a2d 23 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5150ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5251reximdva 2668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y
)  ->  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5352ralimdva 2634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) ) )
549ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
5554, 16, 36, 2rlim3 11988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )
) )
5628ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
5756, 16, 29, 2rlim3 11988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5853, 55, 573imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
) )
591, 58mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370   [,)cico 10674   abscabs 11735    ~~> r crli 11975
This theorem is referenced by:  rlimsqz  12139  rlimsqz2  12140  cxploglim2  20289  logfacrlim  20479  logexprlim  20480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rlim 11979
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