MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqzlem Unicode version

Theorem rlimsqzlem 12370
Description: Lemma for rlimsqz 12371 and rlimsqz2 12372. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqzlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
rlimsqzlem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
rlimsqzlem.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
rlimsqzlem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
rlimsqzlem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
rlimsqzlem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
Assertion
Ref Expression
rlimsqzlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, E    ph, x    x, M
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem rlimsqzlem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimsqzlem.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D
)
2 rlimsqzlem.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
32ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  e.  RR )
42ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  RR )
5 elicopnf 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
z  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
z  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  M  <_ 
z ) ) )
76simprbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  -> 
z  e.  RR )
87adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  e.  RR )
9 rlimsqzlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
10 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
119, 10fmptd 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
12 fdm 5536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
14 rlimss 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
151, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
1613, 15eqsstr3d 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  RR )
1817sselda 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
206simplbda 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  ->  M  <_  z )
2120adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  z )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  z  <_  x )
233, 8, 19, 21, 22letrd 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  M  <_  x )
24 rlimsqzlem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2524anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <_ 
( abs `  ( B  -  D )
) )
2625adantllr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  M  <_  x )  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) ) )
2723, 26syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <_  ( abs `  ( B  -  D ) ) )
28 rlimsqzlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
29 rlimsqzlem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E  e.  CC )
3128, 30subcld 9344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  -  E )  e.  CC )
3231abscld 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3332adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  e.  RR )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  e.  RR )
35 rlimcl 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
361, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  CC )
389, 37subcld 9344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  D )  e.  CC )
3938abscld 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  e.  RR )
42 rpre 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4342ad3antlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  y  e.  RR )
44 lelttr 9099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( C  -  E )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4534, 41, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( (
( abs `  ( C  -  E )
)  <_  ( abs `  ( B  -  D
) )  /\  ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  < 
y ) )
4627, 45mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  ( z  e.  ( M [,)  +oo )  /\  z  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) )
4746expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  -> 
( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
4847an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( z  <_  x  ->  ( ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y  ->  ( abs `  ( C  -  E ) )  <  y ) ) )
4948a2d 24 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5049ralimdva 2728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( M [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5150reximdva 2762 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D
) )  <  y
)  ->  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5251ralimdva 2728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E
) )  <  y
) ) )
539ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
5453, 16, 36, 2rlim3 12220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( B  -  D )
)  <  y )
) )
5528ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
5655, 16, 29, 2rlim3 12220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( M [,)  +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  E )
)  <  y )
) )
5752, 54, 563imtr4d 260 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
) )
581, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   RR+crp 10545   [,)cico 10851   abscabs 11967    ~~> r crli 12207
This theorem is referenced by:  rlimsqz  12371  rlimsqz2  12372  cxploglim2  20685  logfacrlim  20876  logexprlim  20877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ico 10855  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-rlim 12211
  Copyright terms: Public domain W3C validator