Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimuni Unicode version

Theorem rlimuni 12024
 Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1
rlimuni.2
rlimuni.3
rlimuni.4
Assertion
Ref Expression
rlimuni

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12
2 rlimcl 11977 . . . . . . . . . . . 12
31, 2syl 15 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12
6 rlimcl 11977 . . . . . . . . . . . 12
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
94, 8subcld 9157 . . . . . . . . 9
109abscld 11918 . . . . . . . 8
1110ltnrd 8953 . . . . . . 7
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
1615, 4abssubd 11935 . . . . . . . . . . . . 13
1716breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12
1817anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11
19 abs3lem 11822 . . . . . . . . . . . 12
204, 8, 15, 10, 19syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11
2118, 20sylbid 206 . . . . . . . . . 10
2221imim2d 48 . . . . . . . . 9
2322com23 72 . . . . . . . 8
2423imp3a 420 . . . . . . 7
2511, 24mtod 168 . . . . . 6
2625nrexdv 2646 . . . . 5
27 r19.29r 2684 . . . . 5
2826, 27nsyl 113 . . . 4
2928nrexdv 2646 . . 3
30 rlimuni.2 . . . . 5
31 fdm 5393 . . . . . . . . 9
3212, 31syl 15 . . . . . . . 8
33 rlimss 11976 . . . . . . . . 9
341, 33syl 15 . . . . . . . 8
3532, 34eqsstr3d 3213 . . . . . . 7
36 ressxr 8876 . . . . . . 7
3735, 36syl6ss 3191 . . . . . 6
38 supxrunb1 10638 . . . . . 6
3937, 38syl 15 . . . . 5
4030, 39mpbird 223 . . . 4
41 r19.29 2683 . . . . 5
4241ex 423 . . . 4
4340, 42syl 15 . . 3
4429, 43mtod 168 . 2
4512adantr 451 . . . . . . 7
4613ralrimiva 2626 . . . . . . 7
4745, 46syl 15 . . . . . 6
483adantr 451 . . . . . . . . 9
497adantr 451 . . . . . . . . 9
5048, 49subcld 9157 . . . . . . . 8
51 simpr 447 . . . . . . . . 9
52 subeq0 9073 . . . . . . . . . . 11
5348, 49, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5453necon3bid 2481 . . . . . . . . 9
5551, 54mpbird 223 . . . . . . . 8
5650, 55absrpcld 11930 . . . . . . 7
5756rphalfcld 10402 . . . . . 6
5845feqmptd 5575 . . . . . . 7
591adantr 451 . . . . . . 7
6058, 59eqbrtrrd 4045 . . . . . 6
6147, 57, 60rlimi 11987 . . . . 5
625adantr 451 . . . . . . 7
6358, 62eqbrtrrd 4045 . . . . . 6
6447, 57, 63rlimi 11987 . . . . 5
6535adantr 451 . . . . . 6
66 rexanre 11830 . . . . . 6
6765, 66syl 15 . . . . 5
6861, 64, 67mpbir2and 888 . . . 4
6968ex 423 . . 3
7069necon1bd 2514 . 2
7144, 70mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cdm 4689  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cc 8735  cr 8736  cc0 8737   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  c2 9795  cabs 11719   crli 11959 This theorem is referenced by:  rlimdm  12025 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963
 Copyright terms: Public domain W3C validator