Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rltrooo Unicode version

Theorem rltrooo 25518
Description: A right and left translation is a bijection. (Contributed by FL, 2-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
rltr.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
rltr.2  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
rltrooo  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem rltrooo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rltr.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
2 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( A G x ) G B )  e. 
_V
32rgenw 2623 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  ( ( A G x ) G B )  e.  _V
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( ( A G x ) G B )  e.  _V )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
65mptfng 5385 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( A G x ) G B )  e.  _V  <->  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  Fn  X )
74, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  Fn  X )
8 rltr.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
95, 8rltrran 25517 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  =  X )
105fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( A G x ) G B )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x )  =  ( ( A G x ) G B ) )
112, 10mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  (
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x
)  =  ( ( A G x ) G B ) )
1211ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x
)  =  ( ( A G x ) G B ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A G x )  =  ( A G y ) )
1413oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B ) )
15 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G y ) G B )  e. 
_V
1614, 5, 15fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X  ->  (
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y
)  =  ( ( A G y ) G B ) )
1716ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y
)  =  ( ( A G y ) G B ) )
1812, 17eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y
)  <->  ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B ) ) )
19 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B ) )
20 simprl1 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  G  e.  GrpOp )
21 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  G  e.  GrpOp )
22 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
23 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
248grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A G x )  e.  X )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A G x )  e.  X )
26 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
278grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A G y )  e.  X )
29 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
3025, 28, 293jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( A G x )  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X  /\  B  e.  X ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G x )  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X  /\  B  e.  X ) )
328grporcan 20904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( A G x )  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  <-> 
( A G x )  =  ( A G y ) ) )
3320, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  <->  ( A G x )  =  ( A G y ) ) )
3419, 33mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  ( A G x )  =  ( A G y ) )
35 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  x  e.  X
)
36 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  y  e.  X
)
37 simprl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  A  e.  X
)
388grpolcan 20916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G x )  =  ( A G y )  <->  x  =  y
) )
3920, 35, 36, 37, 38syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  ( ( A G x )  =  ( A G y )  <->  x  =  y
) )
4034, 39mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  /\  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  ->  x  =  y )
4140ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A G x ) G B )  =  ( ( A G y ) G B )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  =  y )
)
4218, 41syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y
)  ->  ( (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  =  y ) ) )
4342pm2.43a 45 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y
)  ->  x  =  y ) )
4443ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  y )  ->  x  =  y ) )
45 nfmpt1 4125 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
46 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
4745, 46dff1o6f 25195 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  Fn  X  /\  ran  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  =  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
487, 9, 44, 47syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) : X -1-1-onto-> X )
49 f1oeq1 5479 . . 3  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
5048, 49syl5ibr 212 . 2  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )  -> 
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  F : X
-1-1-onto-> X ) )
511, 50ax-mp 8 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876
  Copyright terms: Public domain W3C validator