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Theorem rltrran 25517
Description: The range of a right and left translation. Note that  A and  B are constant. (Contributed by FL, 2-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
rltr.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
rltr.2  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
rltrran  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ran  F  =  X )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem rltrran
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rltr.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( A G x ) G B ) )
21rnmpt 4941 . 2  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B ) }
3 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
4 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
5 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
6 rltr.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ran  G
76grpocl 20883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A G x )  e.  X )
83, 4, 5, 7syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A G x )  e.  X )
9 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
103, 8, 93jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( A G x )  e.  X  /\  B  e.  X )
)
1110ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G x )  e.  X  /\  B  e.  X )
) )
126grpocl 20883 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G x )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G x ) G B )  e.  X )
1311, 12syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( A G x ) G B )  e.  X ) )
14 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( A G x ) G B )  ->  (
y  e.  X  <->  ( ( A G x ) G B )  e.  X
) )
1514imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( A G x ) G B )  ->  (
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  y  e.  X )  <->  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G x ) G B )  e.  X ) ) )
1613, 15syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  (
y  =  ( ( A G x ) G B )  -> 
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  y  e.  X ) ) )
1716rexlimiv 2674 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B )  ->  (
( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  y  e.  X ) )
1817com12 27 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B )  ->  y  e.  X ) )
19 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  G  e.  GrpOp
)
20 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
216, 20grpoinvcl 20909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  A )  e.  X )
22213adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  A )  e.  X )
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( inv `  G ) `  A )  e.  X
)
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  y  e.  X )
256, 20grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
26253adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
2726adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( inv `  G ) `  B )  e.  X
)
286grpocl 20883 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X )
2919, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) )  e.  X
)
306grpocl 20883 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) )  e.  X )
3119, 23, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  e.  X
)
32 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  B  e.  X )
336grpoass 20886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  ( ( inv `  G
) `  B )  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) G B )  =  ( y G ( ( ( inv `  G ) `  B
) G B ) ) )
3419, 24, 27, 32, 33syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) G B )  =  ( y G ( ( ( inv `  G
) `  B ) G B ) ) )
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
366, 35, 20grpolinv 20911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  B ) G B )  =  (GId
`  G ) )
3719, 32, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  B ) G B )  =  (GId
`  G ) )
3837eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  (GId `  G
)  =  ( ( ( inv `  G
) `  B ) G B ) )
3938oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( y G (GId `  G )
)  =  ( y G ( ( ( inv `  G ) `
 B ) G B ) ) )
406, 35grporid 20903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X )  ->  (
y G (GId `  G ) )  =  y )
41403ad2antl1 1117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( y G (GId `  G )
)  =  y )
4234, 39, 413eqtr2rd 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  y  =  ( ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) G B ) )
436, 35grpolid 20902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X )  -> 
( (GId `  G
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) )  =  ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
4443eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X )  -> 
( y G ( ( inv `  G
) `  B )
)  =  ( (GId
`  G ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) )
4519, 29, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( (GId `  G ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) )
4645oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) G B )  =  ( ( (GId `  G ) G ( y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) G B ) )
47 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  A  e.  X )
486, 35, 20grporinv 20912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  (GId
`  G ) )
4919, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) )  =  (GId
`  G ) )
5049eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  (GId `  G
)  =  ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) ) )
5150oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (GId `  G ) G ( y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( ( A G ( ( inv `  G ) `
 A ) ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
(GId `  G ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) G B )  =  ( ( ( A G ( ( inv `  G
) `  A )
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) G B ) )
5342, 46, 523eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  y  =  ( ( ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) ) G ( y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) G B ) )
546grpoass 20886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( inv `  G
) `  A )  e.  X  /\  (
y G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X ) )  ->  ( ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) ) G ( y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
5519, 47, 23, 29, 54syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( A G ( ( inv `  G ) `  A
) ) G ( y G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
5655oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G ( ( inv `  G
) `  A )
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) G B )  =  ( ( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) G B ) )
5753, 56eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  y  =  ( ( A G ( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) ) G B ) )
58 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  ( A G x )  =  ( A G ( ( ( inv `  G
) `  A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) )
5958oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
( A G x ) G B )  =  ( ( A G ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) ) ) G B ) )
6059eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ( inv `  G ) `
 A ) G ( y G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  ->  (
y  =  ( ( A G x ) G B )  <->  y  =  ( ( A G ( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) ) G B ) ) )
6160rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) )  e.  X  /\  y  =  ( ( A G ( ( ( inv `  G ) `  A
) G ( y G ( ( inv `  G ) `  B
) ) ) ) G B ) )  ->  E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B ) )
6231, 57, 61syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B ) )
6362ex 423 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
y  e.  X  ->  E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B ) ) )
6418, 63impbid 183 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B )  <->  y  e.  X ) )
6564abbi1dv 2412 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { y  |  E. x  e.  X  y  =  ( ( A G x ) G B ) }  =  X )
662, 65syl5eq 2340 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ran  F  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557    e. cmpt 4093   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   invcgn 20871
This theorem is referenced by:  rltrooo  25518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876
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