Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Unicode version

Theorem rmspecnonsq 27095
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10254 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 zsqcl 11190 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
4 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10138 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
7 sq1 11214 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8 eluz2b2 10306 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
98simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
10 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 10255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
13 0le1 9313 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
15 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
16 eluznn0 10304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
1715, 16mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1817nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
1911, 12, 14, 18lt2sqd 11295 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
209, 19mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
217, 20syl5eqbrr 4073 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
2212resqcld 11287 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2311, 22posdifd 9375 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2421, 23mpbid 201 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
25 elnnz 10050 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 645 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
27 rmspecsqrnq 27094 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
28 eldifn 3312 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ )  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
3029intnand 882 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
31 df-squarenn 27029 . . . . 5  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
3231eleq2i 2360 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN  <->  ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } )
33 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3534elrab 2936 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } 
<->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3632, 35bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ )  <->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.NN )
3730, 36sylnib 295 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN )
38 eldif 3175 . 2  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  /\  -.  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.NN ) )
3926, 37, 38sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    \ cdif 3162   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734  ◻NNcsquarenn 27024
This theorem is referenced by:  rmspecfund  27097  rmxyelqirr  27098  rmxycomplete  27105  rmbaserp  27107  rmxyneg  27108  rmxm1  27122  rmxluc  27124  rmxdbl  27127  ltrmxnn0  27139  jm2.19lem1  27185  jm2.23  27192  rmxdiophlem  27211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-numer 12822  df-denom 12823  df-squarenn 27029
  Copyright terms: Public domain W3C validator