Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Unicode version

Theorem rmspecnonsq 26961
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10488 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 zsqcl 11444 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
4 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10372 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
7 sq1 11468 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8 eluz2b2 10540 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
98simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
10 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 10489 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
13 0le1 9543 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
15 2nn0 10230 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
16 eluznn0 10538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
1715, 16mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1817nn0ge0d 10269 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
1911, 12, 14, 18lt2sqd 11549 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
209, 19mpbid 202 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
217, 20syl5eqbrr 4238 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
2212resqcld 11541 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2311, 22posdifd 9605 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2421, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
25 elnnz 10284 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 646 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
27 rmspecsqrnq 26960 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
2827eldifbd 3325 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
2928intnand 883 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
30 df-squarenn 26895 . . . . 5  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
3130eleq2i 2499 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN  <->  ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } )
32 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3433elrab 3084 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } 
<->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3531, 34bitr2i 242 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ )  <->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.NN )
3629, 35sylnib 296 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN )
3726, 36eldifd 3323 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    \ cdif 3309   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   QQcq 10566   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030  ◻NNcsquarenn 26890
This theorem is referenced by:  rmspecfund  26963  rmxyelqirr  26964  rmxycomplete  26971  rmbaserp  26973  rmxyneg  26974  rmxm1  26988  rmxluc  26990  rmxdbl  26993  ltrmxnn0  27005  jm2.19lem1  27051  jm2.23  27058  rmxdiophlem  27077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-numer 13119  df-denom 13120  df-squarenn 26895
  Copyright terms: Public domain W3C validator