Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Unicode version

Theorem rmspecnonsq 26662
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10429 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 zsqcl 11380 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
4 1z 10244 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  ZZ )
63, 5zsubcld 10313 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
7 sq1 11404 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8 eluz2b2 10481 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
98simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
10 1re 9024 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
12 eluzelre 10430 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
13 0le1 9484 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  1 )
15 2nn0 10171 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
16 eluznn0 10479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
1715, 16mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
1817nn0ge0d 10210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
1911, 12, 14, 18lt2sqd 11485 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  A  <->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) ) )
209, 19mpbid 202 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1 ^ 2 )  < 
( A ^ 2 ) )
217, 20syl5eqbrr 4188 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( A ^ 2 ) )
2212resqcld 11477 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2311, 22posdifd 9546 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  <  ( A ^
2 )  <->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
2421, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
25 elnnz 10225 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )
266, 24, 25sylanbrc 646 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
27 rmspecsqrnq 26661 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
2827eldifbd 3277 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  QQ )
2928intnand 883 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
30 df-squarenn 26596 . . . . 5  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
3130eleq2i 2452 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN  <->  ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } )
32 fveq2 5669 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3433elrab 3036 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ } 
<->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ ) )
3531, 34bitr2i 242 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  NN  /\  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  QQ )  <->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.NN )
3629, 35sylnib 296 . 2  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.NN )
3726, 36eldifd 3275 1  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    \ cdif 3261   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   NNcn 9933   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   QQcq 10507   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966  ◻NNcsquarenn 26591
This theorem is referenced by:  rmspecfund  26664  rmxyelqirr  26665  rmxycomplete  26672  rmbaserp  26674  rmxyneg  26675  rmxm1  26689  rmxluc  26691  rmxdbl  26694  ltrmxnn0  26706  jm2.19lem1  26752  jm2.23  26759  rmxdiophlem  26778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-numer 13055  df-denom 13056  df-squarenn 26596
  Copyright terms: Public domain W3C validator