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Theorem rmxdioph 27078
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elmapi 7030 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
3 df-3 10051 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4 ssid 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 3
)
53, 4jm2.27dlem5 27075 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 3
)
6 2nn 10125 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
76jm2.27dlem3 27073 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
85, 7sselii 3337 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 ... 3
)
9 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  2 )  e. 
NN0 )
102, 8, 9sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  e.  NN0 )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  2
)  e.  NN0 )
12 3nn 10126 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
1312jm2.27dlem3 27073 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( 1 ... 3
)
14 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  3  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  3 )  e. 
NN0 )
152, 13, 14sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  e.  NN0 )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  3
)  e.  NN0 )
17 rmxdiophlem 27077 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN0  /\  ( a `
 3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
181, 11, 16, 17syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) Xrm  ( a `  2
) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
1918pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
20 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2120rexbii 2722 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
22 r19.42v 2854 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  =  ( ( a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2321, 22bitr2i 242 . . . 4  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
2419, 23syl6bb 253 . . 3  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
2524rabbiia 2938 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
26 3nn0 10231 . . 3  |-  3  e.  NN0
27 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
2827resex 5178 . . . . . . 7  |-  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  e.  _V
29 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( c `
 4 )  e. 
_V
30 df-2 10050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3130, 5jm2.27dlem5 27075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 3
)
32 1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
3332jm2.27dlem3 27073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 1 ... 1
)
3431, 33sselii 3337 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( 1 ... 3
)
3534jm2.27dlem1 27071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  =  ( c ` 
1 ) )
3635eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
38 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
b  =  ( c `
 4 ) )
398jm2.27dlem1 27071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  =  ( c ` 
2 ) )
4035, 39oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  =  ( ( c `  1
) Yrm  ( c `  2
) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )
4238, 41eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
4337, 42anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  <->  ( (
c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
4413jm2.27dlem1 27071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  =  ( c ` 
3 ) )
4544oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 3 ) ^
2 ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )
4735oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 1 ) ^
2 ) )
4847oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 ) )
49 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c ` 
4 )  ->  (
b ^ 2 )  =  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) )
5048, 49oveqan12d 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )
5146, 50oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
5251eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5343, 52anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5428, 29, 53sbc2ie 3220 . . . . . 6  |-  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  ->  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5655rabbiia 2938 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
57 4nn0 10232 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
58 rmydioph 27076 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( b `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b `  3 )  =  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
59 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
1 )  =  ( c `  1 ) )
6059eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
61 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
3 )  =  ( c `  4 ) )
62 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
2 )  =  ( c `  2 ) )
6359, 62oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )
6461, 63eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
6560, 64anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( ( b `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( b `  3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) ) )  <-> 
( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
66 df-4 10052 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
67 ssid 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... 4 )  C_  ( 1 ... 4
)
6866, 67jm2.27dlem5 27075 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 4
)
693, 68jm2.27dlem5 27075 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 4
)
7030, 69jm2.27dlem5 27075 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 4
)
7170, 33sselii 3337 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 1 ... 4
)
7269, 7sselii 3337 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( 1 ... 4
)
73 4nn 10127 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7473jm2.27dlem3 27073 . . . . . . 7  |-  4  e.  ( 1 ... 4
)
7565, 71, 72, 74rabren3dioph 26867 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  { b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( b ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( ( b `  1 ) Yrm  ( b `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 ) )
7657, 58, 75mp2an 654 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )
77 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
7868, 13sselii 3337 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( 1 ... 4
)
79 mzpproj 26785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  3  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8077, 78, 79mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 3 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
81 2nn0 10230 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
82 mzpexpmpt 26793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  3
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8380, 81, 82mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
84 mzpproj 26785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8577, 71, 84mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
86 mzpexpmpt 26793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  1
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8785, 81, 86mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
88 1z 10303 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
89 mzpconstmpt 26788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9077, 88, 89mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
91 mzpsubmpt 26791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9287, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
93 mzpproj 26785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  4  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9477, 74, 93mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 4 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
95 mzpexpmpt 26793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9694, 81, 95mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
97 mzpmulmpt 26790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9892, 96, 97mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
99 mzpsubmpt 26791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
10083, 98, 99mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
101 eqrabdioph 26827 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
4 ) )
10257, 100, 90, 101mp3an 1279 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4 )
103 anrabdioph 26830 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4
) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
) )
10476, 102, 103mp2an 654 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10556, 104eqeltri 2505 . . 3  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10666rexfrabdioph 26846 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  | 
[. ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /  a ]. [. ( c ` 
4 )  /  b ]. ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
4 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
10726, 105, 106mp2an 654 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 )
10825, 107eqeltri 2505 1  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153    e. cmpt 4258    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   1c1 8983    x. cmul 8987    - cmin 9283   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   ^cexp 11374  mzPolycmzp 26770  Diophcdioph 26804   Xrm crmx 26954   Yrm crmy 26955
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  27084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-numer 13119  df-denom 13120  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-mzpcl 26771  df-mzp 26772  df-dioph 26805  df-squarenn 26895  df-pell1qr 26896  df-pell14qr 26897  df-pell1234qr 26898  df-pellfund 26899  df-rmx 26956  df-rmy 26957
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