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Theorem rmxdioph 27100
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elmapi 7041 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
3 df-3 10064 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4 ssid 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 3
)
53, 4jm2.27dlem5 27097 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 3
)
6 2nn 10138 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
76jm2.27dlem3 27095 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
85, 7sselii 3347 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 ... 3
)
9 ffvelrn 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  2 )  e. 
NN0 )
102, 8, 9sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  e.  NN0 )
1110adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  2
)  e.  NN0 )
12 3nn 10139 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
1312jm2.27dlem3 27095 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( 1 ... 3
)
14 ffvelrn 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  3  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  3 )  e. 
NN0 )
152, 13, 14sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  e.  NN0 )
1615adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  3
)  e.  NN0 )
17 rmxdiophlem 27099 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN0  /\  ( a `
 3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
181, 11, 16, 17syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) Xrm  ( a `  2
) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
1918pm5.32da 624 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
20 anass 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2120rexbii 2732 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
22 r19.42v 2864 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  =  ( ( a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2321, 22bitr2i 243 . . . 4  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
2419, 23syl6bb 254 . . 3  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
2524rabbiia 2948 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
26 3nn0 10244 . . 3  |-  3  e.  NN0
27 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
2827resex 5189 . . . . . . 7  |-  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  e.  _V
29 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( c `
 4 )  e. 
_V
30 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3130, 5jm2.27dlem5 27097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 3
)
32 1nn 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
3332jm2.27dlem3 27095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 1 ... 1
)
3431, 33sselii 3347 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( 1 ... 3
)
3534jm2.27dlem1 27093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  =  ( c ` 
1 ) )
3635eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
b  =  ( c `
 4 ) )
398jm2.27dlem1 27093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  =  ( c ` 
2 ) )
4035, 39oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  =  ( ( c `  1
) Yrm  ( c `  2
) ) )
4140adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )
4238, 41eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
4337, 42anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  <->  ( (
c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
4413jm2.27dlem1 27093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  =  ( c ` 
3 ) )
4544oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 3 ) ^
2 ) )
4645adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )
4735oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 1 ) ^
2 ) )
4847oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 ) )
49 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c ` 
4 )  ->  (
b ^ 2 )  =  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) )
5048, 49oveqan12d 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )
5146, 50oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
5251eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5343, 52anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5428, 29, 53sbc2ie 3230 . . . . . 6  |-  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5554a1i 11 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  ->  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5655rabbiia 2948 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
57 4nn0 10245 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
58 rmydioph 27098 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( b `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b `  3 )  =  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
59 simp1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
1 )  =  ( c `  1 ) )
6059eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
61 simp3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
3 )  =  ( c `  4 ) )
62 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
2 )  =  ( c `  2 ) )
6359, 62oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )
6461, 63eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
6560, 64anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( ( b `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( b `  3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) ) )  <-> 
( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
66 df-4 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
67 ssid 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... 4 )  C_  ( 1 ... 4
)
6866, 67jm2.27dlem5 27097 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 4
)
693, 68jm2.27dlem5 27097 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 4
)
7030, 69jm2.27dlem5 27097 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 4
)
7170, 33sselii 3347 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 1 ... 4
)
7269, 7sselii 3347 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( 1 ... 4
)
73 4nn 10140 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7473jm2.27dlem3 27095 . . . . . . 7  |-  4  e.  ( 1 ... 4
)
7565, 71, 72, 74rabren3dioph 26889 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  { b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( b ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( ( b `  1 ) Yrm  ( b `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 ) )
7657, 58, 75mp2an 655 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )
77 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
7868, 13sselii 3347 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( 1 ... 4
)
79 mzpproj 26807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  3  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8077, 78, 79mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 3 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
81 2nn0 10243 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
82 mzpexpmpt 26815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  3
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8380, 81, 82mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
84 mzpproj 26807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8577, 71, 84mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
86 mzpexpmpt 26815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  1
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8785, 81, 86mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
88 1z 10316 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
89 mzpconstmpt 26810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9077, 88, 89mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
91 mzpsubmpt 26813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9287, 90, 91mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
93 mzpproj 26807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  4  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9477, 74, 93mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 4 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
95 mzpexpmpt 26815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9694, 81, 95mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
97 mzpmulmpt 26812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9892, 96, 97mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
99 mzpsubmpt 26813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
10083, 98, 99mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
101 eqrabdioph 26849 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
4 ) )
10257, 100, 90, 101mp3an 1280 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4 )
103 anrabdioph 26852 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4
) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
) )
10476, 102, 103mp2an 655 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10556, 104eqeltri 2508 . . 3  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10666rexfrabdioph 26868 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  | 
[. ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /  a ]. [. ( c ` 
4 )  /  b ]. ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
4 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
10726, 105, 106mp2an 655 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 )
10825, 107eqeltri 2508 1  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163    e. cmpt 4269    |` cres 4883   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   1c1 8996    x. cmul 9000    - cmin 9296   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   ^cexp 11387  mzPolycmzp 26792  Diophcdioph 26826   Xrm crmx 26976   Yrm crmy 26977
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  27106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-numer 13132  df-denom 13133  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-mzpcl 26793  df-mzp 26794  df-dioph 26827  df-squarenn 26917  df-pell1qr 26918  df-pell14qr 26919  df-pell1234qr 26920  df-pellfund 26921  df-rmx 26978  df-rmy 26979
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