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Theorem rmxdioph 27109
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elmapi 6792 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
3 df-3 9805 . . . . . . . . . 10  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 3
)
53, 4jm2.27dlem5 27106 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 3
)
6 2nn 9877 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
76jm2.27dlem3 27104 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
85, 7sselii 3177 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 ... 3
)
9 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  2 )  e. 
NN0 )
102, 8, 9sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  e.  NN0 )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  2
)  e.  NN0 )
12 3nn 9878 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
1312jm2.27dlem3 27104 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ( 1 ... 3
)
14 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  3  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  3 )  e. 
NN0 )
152, 13, 14sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  e.  NN0 )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a `  3
)  e.  NN0 )
17 rmxdiophlem 27108 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN0  /\  ( a `
 3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
181, 11, 16, 17syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) Xrm  ( a `  2
) )  <->  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
1918pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
20 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2120rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
22 r19.42v 2694 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  NN0  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  =  ( ( a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
2321, 22bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  E. b  e.  NN0  ( b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
2419, 23syl6bb 252 . . 3  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) Xrm  ( a `  2 ) ) )  <->  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
2524rabbiia 2778 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
26 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
27 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
2827resex 4995 . . . . . . 7  |-  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  e.  _V
29 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( c `
 4 )  e. 
_V
30 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3130, 5jm2.27dlem5 27106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 3
)
32 1nn 9757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
3332jm2.27dlem3 27104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 1 ... 1
)
3431, 33sselii 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( 1 ... 3
)
3534jm2.27dlem1 27102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  =  ( c ` 
1 ) )
3635eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
b  =  ( c `
 4 ) )
398jm2.27dlem1 27102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  =  ( c ` 
2 ) )
4035, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  =  ( ( c `  1
) Yrm  ( c `  2
) ) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )
4238, 41eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( b  =  ( ( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
4337, 42anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  <->  ( (
c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
4413jm2.27dlem1 27102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  3 )  =  ( c ` 
3 ) )
4544oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 3 ) ^
2 ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )
4735oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) ^ 2 )  =  ( ( c `
 1 ) ^
2 ) )
4847oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 ) )
49 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( c ` 
4 )  ->  (
b ^ 2 )  =  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) )
5048, 49oveqan12d 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )
5146, 50oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )
5251eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5343, 52anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /\  b  =  ( c ` 
4 ) )  -> 
( ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5428, 29, 53sbc2ie 3058 . . . . . 6  |-  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
5554a1i 10 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  ->  ( [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( (
( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
5655rabbiia 2778 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  =  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 ) }
57 4nn0 9984 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
58 rmydioph 27107 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( b `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b `  3 )  =  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
59 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
1 )  =  ( c `  1 ) )
6059eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( c `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
61 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
3 )  =  ( c `  4 ) )
62 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( b ` 
2 )  =  ( c `  2 ) )
6359, 62oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 1 ) Yrm  ( b `
 2 ) )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) )
6461, 63eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( b `
 3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) )  <->  ( c `  4 )  =  ( ( c ` 
1 ) Yrm  ( c ` 
2 ) ) ) )
6560, 64anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b `  1
)  =  ( c `
 1 )  /\  ( b `  2
)  =  ( c `
 2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( c `
 4 ) )  ->  ( ( ( b `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( b `  3 )  =  ( ( b ` 
1 ) Yrm  ( b ` 
2 ) ) )  <-> 
( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) ) )
66 df-4 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
67 ssid 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... 4 )  C_  ( 1 ... 4
)
6866, 67jm2.27dlem5 27106 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 4
)
693, 68jm2.27dlem5 27106 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 4
)
7030, 69jm2.27dlem5 27106 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 4
)
7170, 33sselii 3177 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 1 ... 4
)
7269, 7sselii 3177 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( 1 ... 4
)
73 4nn 9879 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
7473jm2.27dlem3 27104 . . . . . . 7  |-  4  e.  ( 1 ... 4
)
7565, 71, 72, 74rabren3dioph 26898 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  { b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( b ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( b `  3
)  =  ( ( b `  1 ) Yrm  ( b `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 ) )
7657, 58, 75mp2an 653 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( c `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
c `  4 )  =  ( ( c `
 1 ) Yrm  ( c `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )
77 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
7868, 13sselii 3177 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( 1 ... 4
)
79 mzpproj 26815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  3  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8077, 78, 79mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 3 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
81 2nn0 9982 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
82 mzpexpmpt 26823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  3
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8380, 81, 82mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
84 mzpproj 26815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8577, 71, 84mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
86 mzpexpmpt 26823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  1
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
8785, 81, 86mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
88 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
89 mzpconstmpt 26818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9077, 88, 89mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
91 mzpsubmpt 26821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
1 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9287, 90, 91mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
93 mzpproj 26815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... 4
)  e.  _V  /\  4  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( c  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9477, 74, 93mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( c `
 4 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
95 mzpexpmpt 26823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( c `  4
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9694, 81, 95mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
97 mzpmulmpt 26820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( c `  4
) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
9892, 96, 97mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
99 mzpsubmpt 26821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( c ` 
3 ) ^ 2 ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  ( ( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )
10083, 98, 99mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4
) )  |->  ( ( ( c `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c ` 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 4 ) )
101 eqrabdioph 26857 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN0  /\  ( c  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 4 ) ) 
|->  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) ) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) )  /\  (
c  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 4
) ) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( c `  4
) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
4 ) )
10257, 100, 90, 101mp3an 1277 . . . . 5  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4 )
103 anrabdioph 26860 . . . . 5  |-  ( ( { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( c `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  4 )  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  |  ( ( ( c `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( c `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( c `  4 ) ^ 2 ) ) )  =  1 }  e.  (Dioph `  4
) )  ->  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
) )
10476, 102, 103mp2an 653 . . . 4  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  ( ( ( c ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( c `  4
)  =  ( ( c `  1 ) Yrm  ( c `  2 ) ) )  /\  (
( ( c ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( c ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( c `
 4 ) ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10556, 104eqeltri 2353 . . 3  |-  { c  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 4
) )  |  [. ( c  |`  (
1 ... 3 ) )  /  a ]. [. (
c `  4 )  /  b ]. (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  b  =  ( (
a `  1 ) Yrm  ( a `  2 ) ) )  /\  (
( ( a ` 
3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a ` 
1 ) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  4
)
10666rexfrabdioph 26876 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  { c  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 4 ) )  | 
[. ( c  |`  ( 1 ... 3
) )  /  a ]. [. ( c ` 
4 )  /  b ]. ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  b  =  (
( a `  1
) Yrm  ( a `  2
) ) )  /\  ( ( ( a `
 3 ) ^
2 )  -  (
( ( ( a `
 1 ) ^
2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
4 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  E. b  e. 
NN0  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  b  =  ( ( a ` 
1 ) Yrm  ( a ` 
2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1 ) ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
10726, 105, 106mp2an 653 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  E. b  e.  NN0  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  =  ( ( a `
 1 ) Yrm  ( a `
 2 ) ) )  /\  ( ( ( a `  3
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( a `  1
) ^ 2 )  -  1 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 )
10825, 107eqeltri 2353 1  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) Xrm  ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738    x. cmul 8742    - cmin 9037   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104  mzPolycmzp 26800  Diophcdioph 26834   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  27115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802  df-dioph 26835  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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