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Theorem rmxyadd 27006
Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 27012 and rmyadd 27016 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyadd  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem rmxyadd
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 zaddcl 10059 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
323adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
4 rmxyval 27000 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) ) )
6 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
763ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
87zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
9 zq 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
10 qsqcl 11175 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
117, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  QQ )
12 zssq 10323 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  QQ
13 1z 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
1412, 13sselii 3177 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  QQ
1514a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  QQ )
16 qsubcl 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ )
1711, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ )
18 qcn 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
2019sqrcld 11919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
218, 20addcld 8854 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  e.  CC )
22 rmbaserp 27004 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
2322rpne0d 10395 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =/=  0
)
24233ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =/=  0 )
25 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
26 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
27 expaddz 11146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^
( M  +  N
) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
2821, 24, 25, 26, 27syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
29 frmx 26998 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3029a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
31 fovrn 5990 . . . . . . . 8  |-  ( ( Xrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  M )  e.  NN0 )
3230, 1, 25, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  CC )
34 frmy 26999 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3534a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
36 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Yrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> ZZ  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3735, 1, 25, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3837zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
3920, 38mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
40 fovrn 5990 . . . . . . . 8  |-  ( ( Xrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N )  e.  NN0 )
4130, 1, 26, 40syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
4241nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
43 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Yrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> ZZ  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4435, 1, 26, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4544zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4620, 45mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
4733, 39, 42, 46muladdd 9237 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) ) )
48 rmxyval 27000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
491, 25, 48syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M ) )
50 rmxyval 27000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
511, 26, 50syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) )
5249, 51oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M
)  x.  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) ^ N ) ) )
5347, 52eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ M )  x.  ( ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ N
) ) )
5420, 45, 20, 38mul4d 9024 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )
5519msqsqrd 11922 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
5645, 38mulcomd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
5755, 56oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
5854, 57eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
5958oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
6033, 20, 45mul12d 9021 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
6142, 20, 38mul12d 9021 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) )
6260, 61oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
6333, 45mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
6442, 38mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
6520, 63, 64adddid 8859 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6663, 64addcomd 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6742, 38mulcomd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6867oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
6966, 68eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )
7162, 65, 703eqtr2d 2321 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
7259, 71oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  M ) ) ) )  +  ( ( ( A Xrm  M )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  N )  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
7328, 53, 723eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ ( M  +  N ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
745, 73eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
75 rmspecsqrnq 26991 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
76753ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
77 nn0ssq 10324 . . . 4  |-  NN0  C_  QQ
78 fovrn 5990 . . . . 5  |-  ( ( Xrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N ) )  e.  NN0 )
7930, 1, 3, 78syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  NN0 )
8077, 79sseldi 3178 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
81 fovrn 5990 . . . . 5  |-  ( ( Yrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> ZZ  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  e.  ZZ )
8235, 1, 3, 81syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  ZZ )
8312, 82sseldi 3178 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )
8477, 32sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
M )  e.  QQ )
8577, 41sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  QQ )
86 qmulcl 10334 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8784, 85, 86syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
8812, 37sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  QQ )
8912, 44sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  QQ )
90 qmulcl 10334 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
9188, 89, 90syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
92 qmulcl 10334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  QQ  /\  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
9317, 91, 92syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
94 qaddcl 10332 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
9587, 93, 94syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ )
96 qmulcl 10334 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Xrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
9788, 85, 96syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ )
98 qmulcl 10334 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  M )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  N )  e.  QQ )  ->  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
9984, 89, 98syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )
100 qaddcl 10332 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  QQ  /\  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  QQ )  ->  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ )
10197, 99, 100syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  QQ )
102 qirropth 26993 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  e.  QQ )  /\  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  QQ ) )  -> 
( ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm 
N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N
) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) ) )
10376, 80, 83, 95, 101, 102syl122anc 1191 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( M  +  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  <->  ( ( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
10474, 103mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  /\  ( A Yrm  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( A Yrm  M )  x.  ( A Xrm  N ) )  +  ( ( A Xrm  M )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  rmxadd  27012  rmyadd  27016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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