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Theorem rmxycomplete 27002
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, X    n, Y

Proof of Theorem rmxycomplete
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 26992 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN ) )
3 pellfund14b 26984 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
5 nn0re 9974 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
653ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
7 rmspecpos 27001 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
87rpsqrcld 11894 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR+ )
98rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR )
1093ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  RR )
11 zre 10028 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
12113ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  RR )
1310, 12remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y )  e.  RR )
146, 13readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
1514biantrurd 494 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR  /\  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
16 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  X  e.  NN0 )
17 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  Y  e.  ZZ )
18 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) ) )
19 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) )
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) ) )
22 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2322oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
2423eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
2521, 24anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
26 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )
2726oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) )
2827eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) ) )
29 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
y ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
3029oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )
3130oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
3231eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3328, 32anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
3425, 33rspc2ev 2892 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ  /\  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3635ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
37 rmspecsqrnq 26991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
3938adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
40 nn0ssq 10324 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  QQ
41 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  NN0 )
4240, 41sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  X  e.  QQ )
44 zq 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  QQ )
45443ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  QQ )
4740sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  QQ )
4847ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  QQ )
49 zq 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
5049ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  QQ )
51 qirropth 26993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5352biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  ->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5453anim1d 547 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
55 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  x  ->  ( X ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
56 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  y  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
5756oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5855, 57oveqan12d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5958eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
6059eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6160biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )
6254, 61syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6362rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6436, 63impbid 183 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
65 elpell14qr 26934 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
662, 65syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
6715, 64, 663bitr4d 276 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ) )
6838adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
6942adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
7045adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
71 frmx 26998 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
7271a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
73 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
74 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
75 fovrn 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( Xrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  n )  e.  NN0 )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  NN0 )
7740, 76sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  QQ )
78 zssq 10323 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  QQ
79 frmy 26999 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
8079a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
81 fovrn 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( Yrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> ZZ  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  n )  e.  ZZ )
8280, 73, 74, 81syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  ZZ )
8378, 82sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  QQ )
84 qirropth 26993 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( ( A Xrm  n )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  n )  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
8568, 69, 70, 77, 83, 84syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
86 rmxyval 27000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
87863ad2antl1 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
88 rmspecfund 26994 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
89883ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
9089adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
9190oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
9287, 91eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ n ) )
9392eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n ) ) )
9485, 93bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
9594rexbidva 2560 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm 
n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
964, 67, 953bitr4d 276 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718  ◻NNcsquarenn 26921  Pell14QRcpell14qr 26924  PellFundcpellfund 26925   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  rmxynorm  27003  jm2.27b  27099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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