Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxynorm Unicode version

Theorem rmxynorm 26326
Description: The X and Y sequences define a solution to the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxynorm  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 )

Proof of Theorem rmxynorm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
2 eqidd 2359 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  N
)  =  ( A Xrm  N ) )
3 eqidd 2359 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A Yrm 
N )  =  ( A Yrm  N ) )
42, 3anim12i 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  N ) ) )
5 oveq2 5953 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
65eqeq2d 2369 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  <->  ( A Xrm  N
)  =  ( A Xrm  N ) ) )
7 oveq2 5953 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
87eqeq2d 2369 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a )  <->  ( A Yrm  N
)  =  ( A Yrm  N ) ) )
96, 8anbi12d 691 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  N ) ) ) )
109rspcev 2960 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  N ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a ) ) )
111, 4, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a ) ) )
12 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
13 frmx 26321 . . . 4  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1413fovcl 6036 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
15 frmy 26322 . . . 4  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 6036 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
17 rmxycomplete 26325 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Xrm 
N )  e.  NN0  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. a  e.  ZZ  (
( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a ) ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. a  e.  ZZ  (
( A Xrm  N )  =  ( A Xrm  a )  /\  ( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  a ) ) ) )
1911, 18mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
2 ) ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1c1 8828    x. cmul 8832    - cmin 9127   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ^cexp 11197   Xrm crmx 26308   Yrm crmy 26309
This theorem is referenced by:  rmxyneg  26328  rmxdbl  26347  jm2.19lem1  26405  jm2.27c  26423  rmxdiophlem  26431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-gcd 12783  df-numer 12903  df-denom 12904  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021  df-squarenn 26249  df-pell1qr 26250  df-pell14qr 26251  df-pell1234qr 26252  df-pellfund 26253  df-rmx 26310  df-rmy 26311
  Copyright terms: Public domain W3C validator