Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnegvex2b Unicode version

Theorem rnegvex2b 25766
Description: Existence of a left inverse for vector addition. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rnegvex2b.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
rnegvex2b.2  |-  0 w  =  ( 0 cv
`  N )
Assertion
Ref Expression
rnegvex2b  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N
Allowed substitution hints:    + w( x)    0 w( x)

Proof of Theorem rnegvex2b
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( 1 ... N
)  =  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
21oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( RR  ^m  (
1 ... N ) )  =  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
32eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ...
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) ) )
4 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
(  + cv `  N
)  =  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
54oveqd 5891 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) A ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( 0 cv `  N
)  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
75, 6eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  <->  ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
82, 7rexeqbidv 2762 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  <->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
93, 8imbi12d 311 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
) )  <->  ( A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  =  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )
12 1nn 9773 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1312elimel 3630 . . . . 5  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1410, 11, 13rnegvex2 25764 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
159, 14dedth 3619 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
) ) )
1615imp 418 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
17 rnegvex2b.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
1817oveqi 5887 . . . 4  |-  ( x + w A )  =  ( x (  + cv `  N
) A )
19 rnegvex2b.2 . . . 4  |-  0 w  =  ( 0 cv
`  N )
2018, 19eqeq12i 2309 . . 3  |-  ( ( x + w A
)  =  0 w  <->  ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2120rexbii 2581 . 2  |-  ( E. x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w  <->  E. x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2216, 21sylibr 203 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   ifcif 3578   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   RRcr 8752   1c1 8754   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747   0 cvc0cv 25753
This theorem is referenced by:  negveudr  25772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-addcv 25748  df-nullcv 25754
  Copyright terms: Public domain W3C validator