Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnegvex2b Unicode version

Theorem rnegvex2b 25663
Description: Existence of a left inverse for vector addition. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rnegvex2b.1  |-  + w  =  (  + cv `  N )
rnegvex2b.2  |-  0 w  =  ( 0 cv
`  N )
Assertion
Ref Expression
rnegvex2b  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N
Allowed substitution hints:    + w( x)    0 w( x)

Proof of Theorem rnegvex2b
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( 1 ... N
)  =  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
21oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( RR  ^m  (
1 ... N ) )  =  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
32eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
A  e.  ( RR 
^m  ( 1 ...
if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) ) ) )
4 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
(  + cv `  N
)  =  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
54oveqd 5875 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( x (  + cv `  N ) A )  =  ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N , 
1 ) ) A ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( 0 cv `  N
)  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
75, 6eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( x (  + cv `  N
) A )  =  ( 0 cv `  N
)  <->  ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
82, 7rexeqbidv 2749 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
)  <->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
93, 8imbi12d 311 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
) )  <->  ( A  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  =  (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) )
12 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
1312elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
1410, 11, 13rnegvex2 25661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ( x (  + cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) A )  =  ( 0 cv `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
159, 14dedth 3606 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  (
1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv `  N
) ) )
1615imp 418 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
17 rnegvex2b.1 . . . . 5  |-  + w  =  (  + cv `  N )
1817oveqi 5871 . . . 4  |-  ( x + w A )  =  ( x (  + cv `  N
) A )
19 rnegvex2b.2 . . . 4  |-  0 w  =  ( 0 cv
`  N )
2018, 19eqeq12i 2296 . . 3  |-  ( ( x + w A
)  =  0 w  <->  ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2120rexbii 2568 . 2  |-  ( E. x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w  <->  E. x  e.  ( RR 
^m  ( 1 ... N ) ) ( x (  + cv `  N ) A )  =  ( 0 cv
`  N ) )
2216, 21sylibr 203 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. x  e.  ( RR  ^m  ( 1 ... N ) ) ( x + w A
)  =  0 w
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ifcif 3565   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   RRcr 8736   1c1 8738   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644   0 cvc0cv 25650
This theorem is referenced by:  negveudr  25669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-addcv 25645  df-nullcv 25651
  Copyright terms: Public domain W3C validator