MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnelfm Structured version   Unicode version

Theorem rnelfm 17985
Description: A condition for a filter to be an image filter for a given function. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rnelfm  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )

Proof of Theorem rnelfm
Dummy variables  b 
s  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filtop 17887 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
213ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
3 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  A )
4 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
5 fmf 17977 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  e.  A  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
) )
7 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
9 fvelrnb 5774 . . . 4  |-  ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  ->  ( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  =  L ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  E. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L ) )
11 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
12 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
1311, 12sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
14 foima 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " Y
)  =  ran  F
)
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  =  ran  F )
17 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  L )
18 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
19 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
20 fgcl 17910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y ) )
21 filtop 17887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y filGen b )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  Y  e.  ( Y filGen b ) )
24 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen b )  =  ( Y filGen b )
2524imaelfm 17983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen b ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2617, 18, 19, 23, 25syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 b ) )
2716, 26eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  b ) )
28 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ( ran  F  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  <->  ran  F  e.  L
) )
2927, 28syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3029ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( (
( X  FilMap  F ) `
 b )  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
311, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
32313adant1 975 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( b  e.  (
fBas `  Y )  ->  ( ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) ) )
3332rexlimdv 2829 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( E. b  e.  ( fBas `  Y
) ( ( X 
FilMap  F ) `  b
)  =  L  ->  ran  F  e.  L ) )
3410, 33sylbid 207 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  ->  ran  F  e.  L ) )
35 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
36 filelss 17884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
3736ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
3835, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
t  C_  X )
)
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  t  e.  L )
40 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) )
41 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
4241eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
4342rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
4439, 40, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
45 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
46 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
47 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
4846, 47syl5sseq 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
49483ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
t )  C_  Y
)
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t ) 
C_  Y )
5145, 50ssexd 4350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
52 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
5352elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
5644, 55mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
57 ssid 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
58 ffun 5593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
59583ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  Fun  F )
61 funimass3 5846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6260, 46, 61sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
t ) )  C_  t 
<->  ( `' F "
t )  C_  ( `' F " t ) ) )
6357, 62mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
64 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
6564sseq1d 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
6665rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6756, 63, 66syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )
6867ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  ->  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
6938, 68jcad 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  -> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
7035adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
71 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  s  e. 
_V
7252elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
74 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " x )
7559ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  Fun  F )
76 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
77 funimass3 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  x 
<->  ( `' F "
x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7875, 76, 77sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  <->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " x ) ) )
7974, 78mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  x )
80 imassrn 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F
" ( `' F " x ) )  C_  ran  F
8179, 80jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F ) )
82 ssin 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  x  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ran  F )  <-> 
( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F ) )
8381, 82sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  C_  ( x  i^i  ran  F
) )
84 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F ) )
85 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8611, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
87863ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8887ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z ) )
8975ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  Fun  F )
9089, 76jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( Fun  F  /\  ( `' F " x )  C_  dom  F ) )
9159ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  Fun  F )
9291ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  Fun  F )
93473ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
9493ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  dom  F  =  Y )
9594eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  Y ) )
9695biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  dom  F )
97 fvimacnv 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9892, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
9998biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  y  e.  ( `' F " x ) )
100 funfvima2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
10190, 99, 100sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  /\  y  e.  Y
)  /\  ( F `  y )  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) )
102101ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
103 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
104 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  <->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
105103, 104imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  z  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
106102, 105syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L
)  /\  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  y
)  =  z  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
107106rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( E. y  e.  Y  ( F `  y )  =  z  ->  (
z  e.  x  -> 
z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
10888, 107sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  ( z  e.  x  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) ) )
109108com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  e.  ran  F  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) ) )
110109imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  e.  ran  F )  ->  z  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
11184, 110syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  z  e.  ( F
" ( `' F " x ) ) ) )
112111ssrdv 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  ( F "
( `' F "
x ) ) )
11383, 112eqssd 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  =  ( x  i^i  ran  F ) )
114 filin 17886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
1151143exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( ran 
F  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
116115com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ran  F  e.  L  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
1171163ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L ) ) )
118117imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( x  i^i  ran  F )  e.  L )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
120113, 119eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  /\  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  /\  t  C_  X
) )  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L )
121120exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( ( F "
( `' F "
x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) )
122 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
123122sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
124122eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  e.  L  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  e.  L ) )
125124imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L )  <-> 
( t  C_  X  ->  ( F " ( `' F " x ) )  e.  L ) ) )
126123, 125imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  e.  L ) ) ) )
127121, 126syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
128127rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F " s
)  e.  L ) ) ) )
12973, 128syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( F "
s )  e.  L
) ) ) )
130129imp44 580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  e.  L
)
131 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
132 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
s )  C_  t
)
133 filss 17885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( F " s
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  ( F " s )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13470, 130, 131, 132, 133syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  ( F " s ) 
C_  t )  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp44 597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
136135rexlimdv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
137136com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
138137imp3a 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
13969, 138impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
1402adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
141 rnelfmlem 17984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
142 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
143 elfm 17979 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  L  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
144140, 141, 142, 143syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
145139, 144bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
146145eqrdv 2434 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
1478adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
) )
148 fnfvelrn 5867 . . . . 5  |-  ( ( ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y
)  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
149147, 141, 148syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
150146, 149eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) )
151150ex 424 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ran  F  e.  L  ->  L  e.  ran  ( X  FilMap  F ) ) )
15234, 151impbid 184 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( L  e.  ran  ( X  FilMap  F )  <->  ran  F  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690   Filcfil 17877    FilMap cfm 17965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878  df-fm 17970
  Copyright terms: Public domain W3C validator