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Theorem rnelfmlem 17647
Description: Lemma for rnelfm 17648. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Nov-2009.)
Assertion
Ref Expression
rnelfmlem  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, X    x, Y

Proof of Theorem rnelfmlem
Dummy variables  r 
s  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  F : Y --> X )
2 cnvimass 5033 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
3 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
42, 3syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
x )  C_  Y
)
51, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x ) 
C_  Y )
6 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  A )
7 elpw2g 4174 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ~P Y 
<->  ( `' F "
x )  C_  Y
) )
95, 8mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( `' F " x )  e.  ~P Y )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( `' F "
x )  e.  ~P Y )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
1210, 11fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y
)
13 frn 5395 . . 3  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) : L --> ~P Y  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ~P Y )
15 filtop 17550 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
16153ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  L )
1716adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  X  e.  L )
18 fimacnv 5657 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F " X )  =  Y )
1918eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
20193ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  =  ( `' F " X ) )
22 imaeq2 5008 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " X ) )
2322eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( Y  =  ( `' F " x )  <->  Y  =  ( `' F " X ) ) )
2423rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  Y  =  ( `' F " X ) )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2517, 21, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) )
2611elrnmpt 4926 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
27263ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  Y  =  ( `' F " x ) ) )
2925, 28mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
30 ne0i 3461 . . . 4  |-  ( Y  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )
3129, 30syl 15 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) )
32 0nelfil 17544 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  L
)
33323ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  -.  (/)  e.  L )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  L )
35 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
3611elrnmpt 4926 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
3735, 36ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x ) )
38 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
39 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
41403ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
43 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
4443biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( F `  z )  =  y )  -> 
( F `  z
)  e.  x )
4544ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
4645adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( F `  z )  e.  x
)
47 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
48473ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  ->  Fun  F )
4948ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  Fun  F )
503eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : Y --> X  -> 
( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  Y ) )
5150biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
52513ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  z  e.  Y
)  ->  z  e.  dom  F )
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  dom  F
)
5453ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  dom  F )
55 fvimacnv 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5649, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
5746, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  z  e.  ( `' F " x ) )
58 n0i 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  ( `' F " x )  =  (/) )
59 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  (/)  =  ( `' F " x ) )
6058, 59sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6157, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  /\  (
z  e.  Y  /\  ( F `  z )  =  y ) )  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) )
6261exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
z  e.  Y  -> 
( ( F `  z )  =  y  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) ) )
6362rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6442, 63sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  -.  (/)  =  ( `' F " x ) ) )
6564con2d 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  x
) )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6665expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( y  e.  x  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6766com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  x  e.  L )  ->  ( (/)  =  ( `' F " x )  ->  ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) ) )
6867impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
6968alrimiv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  A. y
( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F ) )
70 imnan 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
71 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
7270, 71xchbinxr 302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  -.  y  e.  ( x  i^i  ran  F
) )
7372albii 1553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
74 eq0 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
x  i^i  ran  F ) )
75 eqcom 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  i^i  ran  F
)  =  (/)  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7673, 74, 753bitr2i 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  -.  y  e.  ran  F )  <->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
7769, 76sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  =  ( x  i^i  ran  F
) )
78 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
79 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  x  e.  L )
80 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  ran  F  e.  L )
81 filin 17549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8278, 79, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
8377, 82eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( x  e.  L  /\  (/)  =  ( `' F " x ) ) )  ->  (/)  e.  L
)
8483exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  e.  L  -> 
( (/)  =  ( `' F " x )  ->  (/)  e.  L ) ) )
8584rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. x  e.  L  (/)  =  ( `' F " x )  ->  (/)  e.  L
) )
8637, 85syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  (/)  e.  L
) )
8734, 86mtod 168 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
88 df-nel 2449 . . . 4  |-  ( (/)  e/ 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  -.  (/)  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
8987, 88sylibr 203 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
90 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  r  e. 
_V
9111elrnmpt 4926 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) ) )
9290, 91ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x ) )
93 imaeq2 5008 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " u ) )
9493eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
r  =  ( `' F " x )  <-> 
r  =  ( `' F " u ) ) )
9594cbvrexv 2765 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  r  =  ( `' F " x )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
9692, 95bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u ) )
97 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
9811elrnmpt 4926 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
9997, 98ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
100 imaeq2 5008 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " v ) )
101100eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  (
s  =  ( `' F " x )  <-> 
s  =  ( `' F " v ) ) )
102101cbvrexv 2765 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10399, 102bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) )
10496, 103anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <-> 
( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
105 reeanv 2707 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  <->  ( E. u  e.  L  r  =  ( `' F " u )  /\  E. v  e.  L  s  =  ( `' F " v ) ) )
106104, 105bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) )
107 filin 17549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  u  e.  L  /\  v  e.  L )  ->  (
u  i^i  v )  e.  L )
1081073expb 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
109108adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  L
)
110 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
( u  i^i  v
) ) )
111 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )
112111eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) ) )
113112rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  L  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
114109, 110, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  (
u  e.  L  /\  v  e.  L )
)  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) )
1151143adantl1 1111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ( u  e.  L  /\  v  e.  L ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
116115ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F " x ) )
117 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  dom  F
118117, 3syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
1191183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
120119ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y
)
121 simpll1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
122 ssexg 4160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  Y  /\  Y  e.  A
)  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  e. 
_V )
123120, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  _V )
12411elrnmpt 4926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( u  i^i  v ) )  e.  _V  ->  (
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( ( `' F " ( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( `' F "
x ) ) )
126116, 125mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
127 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
r  =  ( `' F " u ) )
128 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
s  =  ( `' F " v ) )
129127, 128ineq12d 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
130 funcnvcnv 5308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
131 imain 5328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
13247, 130, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
1331323ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
135129, 134eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) )
136 eqimss2 3231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  i^i  s )  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )
137135, 136syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  -> 
( `' F "
( u  i^i  v
) )  C_  (
r  i^i  s )
)
138 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  ->  (
t  C_  ( r  i^i  s )  <->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( r  i^i  s
) ) )
139138rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( u  i^i  v
) )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  ( `' F " ( u  i^i  v ) ) 
C_  ( r  i^i  s ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
140126, 137, 139syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ran  F  e.  L )  /\  ( ( u  e.  L  /\  v  e.  L )  /\  (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
141140exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( u  e.  L  /\  v  e.  L
)  ->  ( (
r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) ) )
142141rexlimdvv 2673 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( E. u  e.  L  E. v  e.  L  ( r  =  ( `' F " u )  /\  s  =  ( `' F " v ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
143106, 142syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
( r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  E. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
144143ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) )
14531, 89, 1443jca 1132 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  /\  A. r  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t 
C_  ( r  i^i  s ) ) )
146 isfbas2 17530 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
1476, 146syl 15 . 2  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y  /\  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  /\  A. r  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) A. s  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) E. t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) t  C_  (
r  i^i  s )
) ) ) )
14814, 145, 147mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   fBascfbas 17518   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  rnelfm  17648  fmfnfm  17653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-fbas 17520  df-fil 17541
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