HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  rnelshi Structured version   Unicode version

Theorem rnelshi 23567
Description: The range of a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
rnelsh.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
rnelshi  |-  ran  T  e.  SH

Proof of Theorem rnelshi
StepHypRef Expression
1 imadmrn 5218 . 2  |-  ( T
" dom  T )  =  ran  T
2 rnelsh.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
32lnopfi 23477 . . . . 5  |-  T : ~H
--> ~H
43fdmi 5599 . . . 4  |-  dom  T  =  ~H
5 helsh 22752 . . . 4  |-  ~H  e.  SH
64, 5eqeltri 2508 . . 3  |-  dom  T  e.  SH
72, 6imaelshi 23566 . 2  |-  ( T
" dom  T )  e.  SH
81, 7eqeltrri 2509 1  |-  ran  T  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   ~Hchil 22427   SHcsh 22436   LinOpclo 22455
This theorem is referenced by:  hmopidmchi  23659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-hvsub 22479  df-hlim 22480  df-sh 22714  df-ch 22729  df-lnop 23349
  Copyright terms: Public domain W3C validator