MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng0cl Unicode version

Theorem rng0cl 15411
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rng0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rng0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rng0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem rng0cl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 15395 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rng0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rng0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 14559 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 15 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292   Basecbs 13195   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   Ringcrg 15386
This theorem is referenced by:  dvdsr01  15486  dvdsr02  15487  irredn0  15534  cntzsubr  15626  abv0  15645  abvtrivd  15654  lmod0cl  15705  lmod0vs  15712  lmodvs0  15713  lpi0  16048  isnzr2  16064  rngelnzr  16066  psr1cl  16196  mvrf  16218  mplmon  16256  mplmonmul  16257  mplcoe1  16258  coe1z  16389  coe1tmfv2  16400  ply1scl0  16414  ply1scln0  16415  cphsubrglem  18666  evlslem3  19451  mdegaddle  19513  ply1divex  19575  facth1  19603  fta1blem  19607  abvcxp  20817  uvcvvcl2  26385  uvcff  26388  frlmpwfi  26410  mamudiagcl  26605  lfl0sc  29090  lflsc0N  29091  baerlem3lem1  31715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-ov 5903  df-riota 6346  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-rng 15389
  Copyright terms: Public domain W3C validator