MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng0cl Structured version   Unicode version

Theorem rng0cl 15685
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rng0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rng0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rng0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem rng0cl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 15669 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rng0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rng0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 14833 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454   Basecbs 13469   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   Ringcrg 15660
This theorem is referenced by:  dvdsr01  15760  dvdsr02  15761  irredn0  15808  cntzsubr  15900  abv0  15919  abvtrivd  15928  lmod0cl  15976  lmod0vs  15983  lmodvs0  15984  lpi0  16318  isnzr2  16334  rngelnzr  16336  psr1cl  16466  mvrf  16488  mplmon  16526  mplmonmul  16527  mplcoe1  16528  coe1z  16656  coe1tmfv2  16667  ply1scl0  16681  ply1scln0  16682  cphsubrglem  19140  evlslem3  19935  mdegaddle  19997  ply1divex  20059  facth1  20087  fta1blem  20091  abvcxp  21309  uvcvvcl2  27214  uvcff  27217  frlmpwfi  27239  mamudiagcl  27434  lfl0sc  29880  lflsc0N  29881  baerlem3lem1  32505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-rng 15663
  Copyright terms: Public domain W3C validator