MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngacl Structured version   Unicode version

Theorem rngacl 15692
Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngacl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
rngacl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngacl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 15670 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rngacl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rngacl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
42, 3grpcl 14819 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1218 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   Grpcgrp 14686   Ringcrg 15661
This theorem is referenced by:  rngcom  15693  rnglghm  15712  rngrghm  15713  imasrng  15726  divsrng2  15727  cntzsubr  15901  srngadd  15946  issrngd  15950  lmodprop2d  16007  prdslmodd  16046  psrlmod  16466  coe1add  16658  ip2subdi  16876  mpfind  19966  mdegaddle  19998  deg1addle2  20026  deg1add  20027  ply1divex  20060  mendlmod  27479  dvhlveclem  31907  baerlem3lem1  32506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-nul 4339  ax-pow 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-iota 5419  df-fv 5463  df-ov 6085  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-rng 15664
  Copyright terms: Public domain W3C validator