MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcl Structured version   Unicode version

Theorem rngcl 15679
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15672 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15656 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 15654 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 14697 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1218 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   .rcmulr 13532   Mndcmnd 14686  mulGrpcmgp 15650   Ringcrg 15662
This theorem is referenced by:  rnglz  15702  rngrz  15703  rngnegl  15705  rngnegr  15706  rngmneg1  15707  rngmneg2  15708  rngm2neg  15709  rngsubdi  15710  rngsubdir  15711  mulgass2  15712  rnglghm  15713  rngrghm  15714  gsumdixp  15717  prdsmulrcl  15719  imasrng  15727  divsrng2  15728  opprrng  15738  dvdsrcl2  15757  dvdsrtr  15759  dvdsrmul1  15760  dvrcl  15793  dvrass  15797  irredrmul  15814  isdrngd  15862  subrgmcl  15882  abvtrivd  15930  srngmul  15948  issrngd  15951  lmodmcl  15964  lmodprop2d  16008  prdslmodd  16047  sralmod  16260  2idlcpbl  16307  divsrhm  16310  divscrng  16313  assapropd  16388  asclrhm  16402  psrmulcllem  16453  psrvscacl  16459  psrlmod  16467  psrlidm  16469  psrridm  16470  psrass1  16471  psrdi  16472  psrdir  16473  psrcom  16474  psrass23  16475  mplmonmul  16529  mplmon2mul  16563  mplind  16564  evlslem2  16570  psropprmul  16634  coe1mul2  16664  coe1tmmul2  16670  coe1tmmul  16671  nrgdsdi  18703  nrgdsdir  18704  nrginvrcnlem  18728  evlslem6  19936  evlslem3  19937  evlslem1  19938  evl1muld  19958  mpfind  19967  mdegmullem  20003  coe1mul3  20024  deg1mul2  20039  deg1mul3  20040  deg1mul3le  20041  ply1domn  20048  ply1divmo  20060  ply1divex  20061  uc1pmon1p  20076  r1pcl  20082  r1pid  20084  dvdsq1p  20085  dvdsr1p  20086  ply1rem  20088  dchrelbas3  21024  dchrmulcl  21035  dchrinv  21047  abvcxp  21311  rdivmuldivd  24229  hbtlem2  27307  mamucl  27435  mamulid  27437  mamurid  27438  mamuass  27439  mamudi  27440  mamudir  27441  mamuvs1  27442  mamuvs2  27443  mendlmod  27480  mendassa  27481  isdomn3  27502  mon1psubm  27504  deg1mhm  27505  lflnegcl  29935  lflvscl  29937  lkrlsp  29962  ldualvsass  30001  lclkrlem2m  32379  lclkrlem2o  32381  lclkrlem2p  32382  lcfrlem2  32403  lcfrlem3  32404  lcfrlem29  32431  mapdpglem30  32562  hdmapglem7  32792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mnd 14692  df-mgp 15651  df-rng 15665
  Copyright terms: Public domain W3C validator