MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcl Unicode version

Theorem rngcl 15354
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15347 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15331 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 15329 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 14372 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1215 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Mndcmnd 14361  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337
This theorem is referenced by:  rnglz  15377  rngrz  15378  rngnegl  15380  rngnegr  15381  rngmneg1  15382  rngmneg2  15383  rngm2neg  15384  rngsubdi  15385  rngsubdir  15386  mulgass2  15387  rnglghm  15388  rngrghm  15389  gsumdixp  15392  prdsmulrcl  15394  imasrng  15402  divsrng2  15403  opprrng  15413  dvdsrcl2  15432  dvdsrtr  15434  dvdsrmul1  15435  dvrcl  15468  dvrass  15472  irredrmul  15489  isdrngd  15537  subrgmcl  15557  abvtrivd  15605  srngmul  15623  issrngd  15626  lmodmcl  15639  lmodprop2d  15687  prdslmodd  15726  sralmod  15939  2idlcpbl  15986  divsrhm  15989  divscrng  15992  assapropd  16067  asclrhm  16081  psrmulcllem  16132  psrvscacl  16138  psrlmod  16146  psrlidm  16148  psrridm  16149  psrass1  16150  psrdi  16151  psrdir  16152  psrcom  16153  psrass23  16154  mplmonmul  16208  mplmon2mul  16242  mplind  16243  evlslem2  16249  psropprmul  16316  coe1mul2  16346  coe1tmmul2  16352  coe1tmmul  16353  nrgdsdi  18176  nrgdsdir  18177  nrginvrcnlem  18201  evlslem6  19397  evlslem3  19398  evlslem1  19399  evl1muld  19419  mpfind  19428  mdegmullem  19464  coe1mul3  19485  deg1mul2  19500  deg1mul3  19501  deg1mul3le  19502  ply1domn  19509  ply1divmo  19521  ply1divex  19522  uc1pmon1p  19537  r1pcl  19543  r1pid  19545  dvdsq1p  19546  dvdsr1p  19547  ply1rem  19549  dchrelbas3  20477  dchrmulcl  20488  dchrinv  20500  abvcxp  20764  hbtlem2  26740  mamucl  26868  mamulid  26870  mamurid  26871  mamuass  26872  mamudi  26873  mamudir  26874  mamuvs1  26875  mamuvs2  26876  mendlmod  26913  mendassa  26914  isdomn3  26935  mon1psubm  26937  deg1mhm  26938  lflnegcl  28638  lflvscl  28640  lkrlsp  28665  ldualvsass  28704  lclkrlem2m  31082  lclkrlem2o  31084  lclkrlem2p  31085  lcfrlem2  31106  lcfrlem3  31107  lcfrlem29  31134  mapdpglem30  31265  hdmapglem7  31495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mnd 14367  df-mgp 15326  df-rng 15340
  Copyright terms: Public domain W3C validator