MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcl Unicode version

Theorem rngcl 15370
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15363 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15347 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 15345 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 14388 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1215 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   Mndcmnd 14377  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353
This theorem is referenced by:  rnglz  15393  rngrz  15394  rngnegl  15396  rngnegr  15397  rngmneg1  15398  rngmneg2  15399  rngm2neg  15400  rngsubdi  15401  rngsubdir  15402  mulgass2  15403  rnglghm  15404  rngrghm  15405  gsumdixp  15408  prdsmulrcl  15410  imasrng  15418  divsrng2  15419  opprrng  15429  dvdsrcl2  15448  dvdsrtr  15450  dvdsrmul1  15451  dvrcl  15484  dvrass  15488  irredrmul  15505  isdrngd  15553  subrgmcl  15573  abvtrivd  15621  srngmul  15639  issrngd  15642  lmodmcl  15655  lmodprop2d  15703  prdslmodd  15742  sralmod  15955  2idlcpbl  16002  divsrhm  16005  divscrng  16008  assapropd  16083  asclrhm  16097  psrmulcllem  16148  psrvscacl  16154  psrlmod  16162  psrlidm  16164  psrridm  16165  psrass1  16166  psrdi  16167  psrdir  16168  psrcom  16169  psrass23  16170  mplmonmul  16224  mplmon2mul  16258  mplind  16259  evlslem2  16265  psropprmul  16332  coe1mul2  16362  coe1tmmul2  16368  coe1tmmul  16369  nrgdsdi  18192  nrgdsdir  18193  nrginvrcnlem  18217  evlslem6  19413  evlslem3  19414  evlslem1  19415  evl1muld  19435  mpfind  19444  mdegmullem  19480  coe1mul3  19501  deg1mul2  19516  deg1mul3  19517  deg1mul3le  19518  ply1domn  19525  ply1divmo  19537  ply1divex  19538  uc1pmon1p  19553  r1pcl  19559  r1pid  19561  dvdsq1p  19562  dvdsr1p  19563  ply1rem  19565  dchrelbas3  20493  dchrmulcl  20504  dchrinv  20516  abvcxp  20780  hbtlem2  27431  mamucl  27559  mamulid  27561  mamurid  27562  mamuass  27563  mamudi  27564  mamudir  27565  mamuvs1  27566  mamuvs2  27567  mendlmod  27604  mendassa  27605  isdomn3  27626  mon1psubm  27628  deg1mhm  27629  lflnegcl  29887  lflvscl  29889  lkrlsp  29914  ldualvsass  29953  lclkrlem2m  32331  lclkrlem2o  32333  lclkrlem2p  32334  lcfrlem2  32355  lcfrlem3  32356  lcfrlem29  32383  mapdpglem30  32514  hdmapglem7  32744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mnd 14383  df-mgp 15342  df-rng 15356
  Copyright terms: Public domain W3C validator