MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcmn Unicode version

Theorem rngcmn 15653
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rngcmn  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)

Proof of Theorem rngcmn
StepHypRef Expression
1 rngabl 15652 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2 ablcmn 15377 . 2  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  CMndccmn 15371   Abelcabel 15372   Ringcrg 15619
This theorem is referenced by:  gsummulc1  15672  gsummulc2  15673  gsumdixp  15674  psrmulcllem  16410  psrlidm  16426  psrridm  16427  psrass1  16428  psrdi  16429  psrdir  16430  psrcom  16431  mplmonmul  16486  mplcoe1  16487  evlslem2  16527  psropprmul  16591  coe1mul2  16621  gsumfsum  16725  ip2di  16831  evlslem1  19893  tdeglem1  19938  tdeglem3  19939  tdeglem4  19940  plypf1  20088  taylfvallem  20231  taylf  20234  tayl0  20235  taylpfval  20238  jensenlem1  20782  jensenlem2  20783  jensen  20784  amgm  20786  ofldchr  24201  mamucl  27328  mamuass  27332  mamudi  27333  mamudir  27334  lfladdcl  29558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624
  Copyright terms: Public domain W3C validator