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Theorem rngcom 15317
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 15619.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngacl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcom  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem rngcom
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 rngacl.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3rngidcl 15309 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
6 rngacl.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
72, 6rngacl 15316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
81, 5, 5, 7syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
9 simp2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 simp3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
11 eqid 2256 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
122, 6, 11rngdi 15307 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
142, 6rngacl 15316 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
152, 6, 11rngdir 15308 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) ) ) )
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
1713, 16eqtr3d 2290 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
182, 6, 11rngdir 15308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X ) ) )
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X ) ) )
202, 11, 3rnglidm 15312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
211, 9, 20syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
2221, 21oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2319, 22eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( X  .+  X
) )
242, 6, 11rngdir 15308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y ) ) )
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) Y )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y ) ) )
262, 11, 3rnglidm 15312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
271, 10, 26syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
2827, 27oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
2925, 28eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3023, 29oveq12d 5796 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
312, 11, 3rnglidm 15312 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
321, 14, 31syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
3332, 32oveq12d 5796 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3417, 30, 333eqtr3d 2296 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
35 rnggrp 15294 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
361, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
372, 6rngacl 15316 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
381, 9, 9, 37syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
392, 6grpass 14444 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
412, 6grpass 14444 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4334, 40, 423eqtr4d 2298 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
442, 6rngacl 15316 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
451, 38, 10, 44syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
462, 6rngacl 15316 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
471, 14, 9, 46syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
482, 6grprcan 14463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5043, 49mpbid 203 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
512, 6grpass 14444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
532, 6grpass 14444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5550, 52, 543eqtr3d 2296 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
562, 6rngacl 15316 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
57563com23 1162 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
582, 6grplcan 14482 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Y  .+  X
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) ) )
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1189 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6055, 59mpbid 203 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Basecbs 13096   +g cplusg 13156   .rcmulr 13157   Grpcgrp 14310   Ringcrg 15285   1rcur 15287
This theorem is referenced by:  rngabl  15318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-plusg 13169  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-ur 15290
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