MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngelnzr Structured version   Unicode version

Theorem rngelnzr 16326
Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngelnzr.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
rngelnzr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
rngelnzr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e. NzRing )

Proof of Theorem rngelnzr
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e.  Ring )
2 eldifsni 3920 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
32adantl 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
4 eldifi 3461 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  B )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  X  e.  B )
6 rngelnzr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 rngelnzr.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
86, 7rng0cl 15675 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  .0.  e.  B )
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
116, 10, 7rng1eq0 15692 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  .0.  ->  X  =  .0.  ) )
121, 5, 9, 11syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( 1r `  R )  =  .0. 
->  X  =  .0.  ) )
1312necon3d 2636 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  =/=  .0.  ->  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
)
143, 13mpd 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
1510, 7isnzr 16320 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
)
161, 14, 15sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e. NzRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309   {csn 3806   ` cfv 5446   Basecbs 13459   0gc0g 13713   Ringcrg 15650   1rcur 15652  NzRingcnzr 16318
This theorem is referenced by:  ply1nz  20034  frlmlbs  27181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-nzr 16319
  Copyright terms: Public domain W3C validator