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Theorem rngi 15369
Description: Properties of a unital ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngi.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
rngi.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngi  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )

Proof of Theorem rngi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngi.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
3 rngi.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 rngi.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .r `  R )
51, 2, 3, 4isrng 15361 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  R
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
65simp3bi 972 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
8 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
9 rsp 2616 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
107, 8, 9sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
11 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
12 rsp 2616 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1310, 11, 12sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
14 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
15 rsp 2616 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
1613, 14, 15sylc 56 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
1716simpld 445 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) )
1817caovdig 6050 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( X  .x.  Y
)  .+  ( X  .x.  Z ) ) )
1916simprd 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) )
2019caovdirg 6053 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) )
2118, 20jca 518 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .x.  Y )  .+  ( X  .x.  Z ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .x.  Z )  =  ( ( X  .x.  Z
)  .+  ( Y  .x.  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353
This theorem is referenced by:  rngdi  15375  rngdir  15376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-rng 15356
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