MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Unicode version

Theorem rngidcl 15361
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15347 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15331 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 15343 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 14391 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 15 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   Mndcmnd 14361  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   1rcur 15339
This theorem is referenced by:  rngcom  15369  rngnegl  15380  rngnegr  15381  rngmneg1  15382  rngmneg2  15383  imasrng  15402  opprrng  15413  dvdsrid  15433  dvdsrneg  15436  1unit  15440  rnginvdv  15476  isdrng2  15522  isdrngd  15537  subrgid  15547  abv1z  15597  abvneg  15599  srng1  15624  issrngd  15626  lmod1cl  15657  lmodvsnegOLD  15668  lmodvsneg  15669  lmodsubvs  15681  lmodsubdi  15682  lmodsubdir  15683  lmodprop2d  15687  lssvnegcl  15713  prdslmodd  15726  lmodvsinv  15793  islmhm2  15795  lbsind2  15834  lspsneq  15875  lspexch  15882  lidl1el  15970  rsp1  15976  lpi1  16000  isnzr2  16015  fidomndrnglem  16047  asclf  16077  asclghm  16078  asclmul1  16079  asclmul2  16080  asclrhm  16081  rnascl  16082  psrlmod  16146  psr1cl  16147  mvrf  16169  mplsubrg  16184  mplmon  16207  mplmonmul  16208  mplcoe1  16209  mplind  16243  coe1pwmul  16355  ply1scl0  16365  ply1scl1  16367  mulgrhm  16460  chrcl  16480  chrid  16481  chrdvds  16482  chrcong  16483  zncyg  16502  tlmtgp  17878  nrginvrcnlem  18201  cphsubrglem  18613  evlslem1  19399  deg1pwle  19505  deg1pw  19506  ply1nz  19507  ply1remlem  19548  dchrmulcl  20488  dchrinv  20500  dchrhash  20510  lgsqrlem1  20580  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgsqrlem4  20583  uvcvvcl2  27237  uvcff  27240  lindfind2  27288  mamudiagcl  27457  mendlmod  27501  idomodle  27512  isdomn3  27523  mon1pid  27524  mon1psubm  27525  deg1mhm  27526  lflsub  29257  eqlkr  29289  eqlkr3  29291  lduallmodlem  29342  ldualvsubcl  29346  ldualvsubval  29347  dochfl1  31666  lcfrlem2  31733  lcdvsubval  31808  mapdpglem30  31892  hgmapval1  32086  hdmapglem5  32115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator