MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Structured version   Unicode version

Theorem rngidcl 15684
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15670 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15654 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 15666 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 14714 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454   Basecbs 13469   Mndcmnd 14684  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   1rcur 15662
This theorem is referenced by:  rngcom  15692  rngnegl  15703  rngnegr  15704  rngmneg1  15705  rngmneg2  15706  imasrng  15725  opprrng  15736  dvdsrid  15756  dvdsrneg  15759  1unit  15763  rnginvdv  15799  isdrng2  15845  isdrngd  15860  subrgid  15870  abv1z  15920  abvneg  15922  srng1  15947  issrngd  15949  lmod1cl  15977  lmodvsneg  15988  lmodsubvs  16000  lmodsubdi  16001  lmodsubdir  16002  lmodprop2d  16006  lssvnegcl  16032  prdslmodd  16045  lmodvsinv  16112  islmhm2  16114  lbsind2  16153  lspsneq  16194  lspexch  16201  lidl1el  16289  rsp1  16295  lpi1  16319  isnzr2  16334  fidomndrnglem  16366  asclf  16396  asclghm  16397  asclmul1  16398  asclmul2  16399  asclrhm  16400  rnascl  16401  psrlmod  16465  psr1cl  16466  mvrf  16488  mplsubrg  16503  mplmon  16526  mplmonmul  16527  mplcoe1  16528  mplind  16562  coe1pwmul  16671  ply1scl0  16681  ply1scl1  16683  mulgrhm  16787  chrcl  16807  chrid  16808  chrdvds  16809  chrcong  16810  zncyg  16829  tlmtgp  18225  nrginvrcnlem  18726  cphsubrglem  19140  evlslem1  19936  deg1pwle  20042  deg1pw  20043  ply1nz  20044  ply1remlem  20085  dchrmulcl  21033  dchrinv  21045  dchrhash  21055  lgsqrlem1  21125  lgsqrlem2  21126  lgsqrlem3  21127  lgsqrlem4  21128  ofld0le1  24242  ofldchr  24244  elrhmunit  24258  zrhnm  24353  zrhchr  24360  qqh1  24369  qqhucn  24376  uvcvvcl2  27214  uvcff  27217  lindfind2  27265  mamudiagcl  27434  mendlmod  27478  idomodle  27489  isdomn3  27500  mon1pid  27501  mon1psubm  27502  deg1mhm  27503  lflsub  29865  eqlkr  29897  eqlkr3  29899  lduallmodlem  29950  ldualvsubcl  29954  ldualvsubval  29955  dochfl1  32274  lcfrlem2  32341  lcdvsubval  32416  mapdpglem30  32500  hgmapval1  32694  hdmapglem5  32723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665
  Copyright terms: Public domain W3C validator