MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Unicode version

Theorem rngidcl 15377
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15363 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15347 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 15359 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 14407 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 15 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   Basecbs 13164   Mndcmnd 14377  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   1rcur 15355
This theorem is referenced by:  rngcom  15385  rngnegl  15396  rngnegr  15397  rngmneg1  15398  rngmneg2  15399  imasrng  15418  opprrng  15429  dvdsrid  15449  dvdsrneg  15452  1unit  15456  rnginvdv  15492  isdrng2  15538  isdrngd  15553  subrgid  15563  abv1z  15613  abvneg  15615  srng1  15640  issrngd  15642  lmod1cl  15673  lmodvsnegOLD  15684  lmodvsneg  15685  lmodsubvs  15697  lmodsubdi  15698  lmodsubdir  15699  lmodprop2d  15703  lssvnegcl  15729  prdslmodd  15742  lmodvsinv  15809  islmhm2  15811  lbsind2  15850  lspsneq  15891  lspexch  15898  lidl1el  15986  rsp1  15992  lpi1  16016  isnzr2  16031  fidomndrnglem  16063  asclf  16093  asclghm  16094  asclmul1  16095  asclmul2  16096  asclrhm  16097  rnascl  16098  psrlmod  16162  psr1cl  16163  mvrf  16185  mplsubrg  16200  mplmon  16223  mplmonmul  16224  mplcoe1  16225  mplind  16259  coe1pwmul  16371  ply1scl0  16381  ply1scl1  16383  mulgrhm  16476  chrcl  16496  chrid  16497  chrdvds  16498  chrcong  16499  zncyg  16518  tlmtgp  17894  nrginvrcnlem  18217  cphsubrglem  18629  evlslem1  19415  deg1pwle  19521  deg1pw  19522  ply1nz  19523  ply1remlem  19564  dchrmulcl  20504  dchrinv  20516  dchrhash  20526  lgsqrlem1  20596  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  lgsqrlem4  20599  uvcvvcl2  27340  uvcff  27343  lindfind2  27391  mamudiagcl  27560  mendlmod  27604  idomodle  27615  isdomn3  27626  mon1pid  27627  mon1psubm  27628  deg1mhm  27629  lflsub  29879  eqlkr  29911  eqlkr3  29913  lduallmodlem  29964  ldualvsubcl  29968  ldualvsubval  29969  dochfl1  32288  lcfrlem2  32355  lcdvsubval  32430  mapdpglem30  32514  hgmapval1  32708  hdmapglem5  32737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358
  Copyright terms: Public domain W3C validator