MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Unicode version

Theorem rngidpropd 15838
Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
rngidpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
rngidpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngidpropd  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  (mulGrp `  K )  =  (mulGrp `  K )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
42, 3mgpbas 15692 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (mulGrp `  K
) )
51, 4syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  K )
) )
6 rngidpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  (mulGrp `  L )  =  (mulGrp `  L )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
97, 8mgpbas 15692 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  (mulGrp `  L
) )
106, 9syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  L )
) )
11 rngidpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
132, 12mgpplusg 15690 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( +g  `  (mulGrp `  K ) )
1413oveqi 6130 . . . 4  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )
15 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
167, 15mgpplusg 15690 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( +g  `  (mulGrp `  L ) )
1716oveqi 6130 . . . 4  |-  ( x ( .r `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y )
1811, 14, 173eqtr3g 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y ) )
195, 10, 18grpidpropd 14760 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) ) )
20 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 1r `  K
)
212, 20rngidval 15704 . 2  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )
22 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
237, 22rngidval 15704 . 2  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) )
2419, 21, 233eqtr4g 2500 1  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Basecbs 13507   +g cplusg 13567   .rcmulr 13568   0gc0g 13761  mulGrpcmgp 15686   1rcur 15700
This theorem is referenced by:  unitpropd  15840  subrgpropd  15940  lmodprop2d  16044  opsr1  16651  ply1mpl1  16688  zlm1  24382  hlhils1N  32921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-plusg 13580  df-0g 13765  df-mgp 15687  df-ur 15703
  Copyright terms: Public domain W3C validator