MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Unicode version

Theorem rngidval 15343
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 15342 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5526 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 15327 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5594 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 651 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2327 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 14386 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 156 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5528 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2313 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   0gc0g 13400  mulGrpcmgp 15325   1rcur 15339
This theorem is referenced by:  dfur2  15344  rngidcl  15361  rngidmlem  15363  isrngid  15366  prds1  15397  oppr1  15416  unitsubm  15452  rngidpropd  15477  dfrhm2  15498  isrhm2d  15506  rhm1  15508  subrgsubm  15558  issubrg3  15573  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  ply1scltm  16357  cnfldexp  16407  expmhm  16449  evlslem1  19399  amgmlem  20284  amgm  20285  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  dchrelbas3  20477  dchrzrh1  20483  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrinvcl  20492  dchrfi  20494  dchrabs  20499  sumdchr2  20509  rpvmasum2  20661  iistmd  23286  isdomn3  27523  mon1psubm  27525  deg1mhm  27526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5861  df-slot 13152  df-base 13153  df-0g 13404  df-mgp 15326  df-ur 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator