MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Structured version   Unicode version

Theorem rngidval 15656
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 15655 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5721 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 15640 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5790 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2479 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 14699 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5714 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5714 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 158 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5723 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2465 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   0gc0g 13713  mulGrpcmgp 15638   1rcur 15652
This theorem is referenced by:  dfur2  15657  rngidcl  15674  rngidmlem  15676  isrngid  15679  prds1  15710  oppr1  15729  unitsubm  15765  rngidpropd  15790  dfrhm2  15811  isrhm2d  15819  rhm1  15821  subrgsubm  15871  issubrg3  15886  mplcoe3  16519  mplcoe2  16520  mplbas2  16521  ply1scltm  16663  cnfldexp  16724  expmhm  16766  evlslem1  19926  amgmlem  20818  amgm  20819  wilthlem2  20842  wilthlem3  20843  dchrelbas3  21012  dchrzrh1  21018  dchrmulcl  21023  dchrn0  21024  dchrinvcl  21027  dchrfi  21029  dchrabs  21034  sumdchr2  21044  rpvmasum2  21196  iistmd  24290  isdomn3  27455  mon1psubm  27457  deg1mhm  27458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-ov 6076  df-slot 13463  df-base 13464  df-0g 13717  df-mgp 15639  df-ur 15655
  Copyright terms: Public domain W3C validator