MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Unicode version

Theorem rngidval 15593
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 15592 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5669 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 15577 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5737 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2431 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 14636 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5662 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5662 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2445 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 158 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5671 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2417 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571    o. ccom 4822    Fn wfn 5389   ` cfv 5394   0gc0g 13650  mulGrpcmgp 15575   1rcur 15589
This theorem is referenced by:  dfur2  15594  rngidcl  15611  rngidmlem  15613  isrngid  15616  prds1  15647  oppr1  15666  unitsubm  15702  rngidpropd  15727  dfrhm2  15748  isrhm2d  15756  rhm1  15758  subrgsubm  15808  issubrg3  15823  mplcoe3  16456  mplcoe2  16457  mplbas2  16458  ply1scltm  16600  cnfldexp  16657  expmhm  16699  evlslem1  19803  amgmlem  20695  amgm  20696  wilthlem2  20719  wilthlem3  20720  dchrelbas3  20889  dchrzrh1  20895  dchrmulcl  20900  dchrn0  20901  dchrinvcl  20904  dchrfi  20906  dchrabs  20911  sumdchr2  20921  rpvmasum2  21073  iistmd  24104  isdomn3  27192  mon1psubm  27194  deg1mhm  27195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402  df-ov 6023  df-slot 13400  df-base 13401  df-0g 13654  df-mgp 15576  df-ur 15592
  Copyright terms: Public domain W3C validator