MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg1 Unicode version

Theorem rngmneg1 15398
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 9232 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngneglmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngneglmul.n  |-  N  =  ( inv g `  R )
rngneglmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rngneglmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngneglmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
rngmneg1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem rngmneg1
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 rnggrp 15362 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4 rngneglmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
64, 5rngidcl 15377 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
8 rngneglmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  R )
94, 8grpinvcl 14543 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
103, 7, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
11 rngneglmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 rngneglmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
13 rngneglmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
144, 13rngass 15373 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
164, 13, 5, 8, 1, 11rngnegl 15396 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
1716oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  X ) 
.x.  Y ) )
184, 13rngcl 15370 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
191, 11, 12, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
204, 13, 5, 8, 1, 19rngnegl 15396 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( X 
.x.  Y ) )  =  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )
2115, 17, 203eqtr3d 2336 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   Ringcrg 15353   1rcur 15355
This theorem is referenced by:  rngm2neg  15400  rngsubdir  15402  mulgass2  15403  cntzsubr  15593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358
  Copyright terms: Public domain W3C validator