MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg1 Structured version   Unicode version

Theorem rngmneg1 15706
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 9471 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngneglmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngneglmul.n  |-  N  =  ( inv g `  R )
rngneglmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rngneglmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngneglmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
rngmneg1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem rngmneg1
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 rnggrp 15670 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4 rngneglmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
64, 5rngidcl 15685 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
8 rngneglmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  R )
94, 8grpinvcl 14851 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
103, 7, 9syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
11 rngneglmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 rngneglmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
13 rngneglmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
144, 13rngass 15681 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
164, 13, 5, 8, 1, 11rngnegl 15704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
1716oveq1d 6097 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  X ) 
.x.  Y ) )
184, 13rngcl 15678 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
191, 11, 12, 18syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
204, 13, 5, 8, 1, 19rngnegl 15704 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( X 
.x.  Y ) )  =  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )
2115, 17, 203eqtr3d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687   Ringcrg 15661   1rcur 15663
This theorem is referenced by:  rngm2neg  15708  rngsubdir  15710  mulgass2  15711  cntzsubr  15901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666
  Copyright terms: Public domain W3C validator