Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngnegl Structured version   Unicode version

Theorem rngnegl 15695
 Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 26556 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngnegl.b
rngnegl.t
rngnegl.u
rngnegl.n
rngnegl.r
rngnegl.x
Assertion
Ref Expression
rngnegl

Proof of Theorem rngnegl
StepHypRef Expression
1 rngnegl.r . . . . 5
2 rngnegl.b . . . . . . 7
3 rngnegl.u . . . . . . 7
42, 3rngidcl 15676 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5
6 rnggrp 15661 . . . . . . 7
71, 6syl 16 . . . . . 6
8 rngnegl.n . . . . . . 7
92, 8grpinvcl 14842 . . . . . 6
107, 5, 9syl2anc 643 . . . . 5
11 rngnegl.x . . . . 5
12 eqid 2435 . . . . . 6
13 rngnegl.t . . . . . 6
142, 12, 13rngdir 15675 . . . . 5
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1186 . . . 4
16 eqid 2435 . . . . . . . 8
172, 12, 16, 8grprinv 14844 . . . . . . 7
187, 5, 17syl2anc 643 . . . . . 6
1918oveq1d 6088 . . . . 5
202, 13, 16rnglz 15692 . . . . . 6
211, 11, 20syl2anc 643 . . . . 5
2219, 21eqtrd 2467 . . . 4
232, 13, 3rnglidm 15679 . . . . . 6
241, 11, 23syl2anc 643 . . . . 5
2524oveq1d 6088 . . . 4
2615, 22, 253eqtr3rd 2476 . . 3
272, 13rngcl 15669 . . . . 5
281, 10, 11, 27syl3anc 1184 . . . 4
292, 12, 16, 8grpinvid1 14845 . . . 4
307, 11, 28, 29syl3anc 1184 . . 3
3126, 30mpbird 224 . 2
3231eqcomd 2440 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  c0g 13715  cgrp 14677  cminusg 14678  crg 15652  cur 15654 This theorem is referenced by:  rngmneg1  15697  dvdsrneg  15751  abvneg  15914  lmodvsneg  15980  lmodsubvs  15992  lmodsubdi  15993  lmodsubdir  15994  lmodvsinv  16104  mplind  16554  lflsub  29802  baerlem3lem1  32442 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657
 Copyright terms: Public domain W3C validator