Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngoidmlem Structured version   Unicode version

Theorem rngoidmlem 22003
 Description: The unit of a ring is an identity element for the multiplication. (Contributed by FL, 18-Feb-2010.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uridm.1
uridm.2
uridm.3 GId
Assertion
Ref Expression
rngoidmlem

Proof of Theorem rngoidmlem
StepHypRef Expression
1 uridm.1 . . . . 5
21rngomndo 22001 . . . 4 MndOp
3 mndomgmid 21922 . . . 4 MndOp
4 eqid 2435 . . . . . 6
5 uridm.3 . . . . . 6 GId
64, 5cmpidelt 21909 . . . . 5
76ex 424 . . . 4
82, 3, 73syl 19 . . 3
9 eqid 2435 . . . . 5
101, 9rngorn1eq 22000 . . . 4
11 uridm.2 . . . . 5
12 eqtr 2452 . . . . . 6
13 simpl 444 . . . . . . . . 9
1413eleq2d 2502 . . . . . . . 8
1514imbi1d 309 . . . . . . 7
1615ex 424 . . . . . 6
1712, 16syl 16 . . . . 5
1811, 17mpan 652 . . . 4
1910, 18mpcom 34 . . 3
208, 19mpbird 224 . 2
2120imp 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  GIdcgi 21767   cexid 21894  cmagm 21898  MndOpcmndo 21917  crngo 21955 This theorem is referenced by:  rngolidm  22004  rngoridm  22005 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-ov 6076  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ablo 21862  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918  df-rngo 21956
 Copyright terms: Public domain W3C validator