Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngolz Unicode version

Theorem rngolz 21068
 Description: The zero of a unital ring is a left absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlz.1 GId
ringlz.2
ringlz.3
ringlz.4
Assertion
Ref Expression
rngolz

Proof of Theorem rngolz
StepHypRef Expression
1 ringlz.3 . . . . . . 7
21rngogrpo 21057 . . . . . 6
3 ringlz.2 . . . . . . . 8
4 ringlz.1 . . . . . . . 8 GId
53, 4grpoidcl 20884 . . . . . . 7
63, 4grpolid 20886 . . . . . . 7
75, 6mpdan 649 . . . . . 6
82, 7syl 15 . . . . 5
98adantr 451 . . . 4
109oveq1d 5873 . . 3
111, 3, 4rngo0cl 21065 . . . . . 6
1211adantr 451 . . . . 5
13 simpr 447 . . . . 5
1412, 12, 133jca 1132 . . . 4
15 ringlz.4 . . . . 5
161, 15, 3rngodir 21053 . . . 4
1714, 16syldan 456 . . 3
182adantr 451 . . . 4
19 simpl 443 . . . . 5
201, 15, 3rngocl 21049 . . . . 5
2119, 12, 13, 20syl3anc 1182 . . . 4
223, 4grporid 20887 . . . . 5
2322eqcomd 2288 . . . 4
2418, 21, 23syl2anc 642 . . 3
2510, 17, 243eqtr3d 2323 . 2
263grpolcan 20900 . . 3
2718, 21, 12, 21, 26syl13anc 1184 . 2
2825, 27mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  c2nd 6121  cgr 20853  GIdcgi 20854  crngo 21042 This theorem is referenced by:  multinv  25422  rngonegmn1l  26580  isdrngo3  26590  0idl  26650  keridl  26657  prnc  26692 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-rngo 21043
 Copyright terms: Public domain W3C validator