Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngolz Structured version   Unicode version

Theorem rngolz 21989
 Description: The zero of a unital ring is a left absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlz.1 GId
ringlz.2
ringlz.3
ringlz.4
Assertion
Ref Expression
rngolz

Proof of Theorem rngolz
StepHypRef Expression
1 ringlz.3 . . . . . . 7
21rngogrpo 21978 . . . . . 6
3 ringlz.2 . . . . . . . 8
4 ringlz.1 . . . . . . . 8 GId
53, 4grpoidcl 21805 . . . . . . 7
63, 4grpolid 21807 . . . . . . 7
75, 6mpdan 650 . . . . . 6
82, 7syl 16 . . . . 5
98adantr 452 . . . 4
109oveq1d 6096 . . 3
111, 3, 4rngo0cl 21986 . . . . . 6
1211adantr 452 . . . . 5
13 simpr 448 . . . . 5
1412, 12, 133jca 1134 . . . 4
15 ringlz.4 . . . . 5
161, 15, 3rngodir 21974 . . . 4
1714, 16syldan 457 . . 3
182adantr 452 . . . 4
19 simpl 444 . . . . 5
201, 15, 3rngocl 21970 . . . . 5
2119, 12, 13, 20syl3anc 1184 . . . 4
223, 4grporid 21808 . . . . 5
2322eqcomd 2441 . . . 4
2418, 21, 23syl2anc 643 . . 3
2510, 17, 243eqtr3d 2476 . 2
263grpolcan 21821 . . 3
2718, 21, 12, 21, 26syl13anc 1186 . 2
2825, 27mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cgr 21774  GIdcgi 21775  crngo 21963 This theorem is referenced by:  rngonegmn1l  26565  isdrngo3  26575  0idl  26635  keridl  26642  prnc  26677 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-rngo 21964
 Copyright terms: Public domain W3C validator