Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngonegmn1l Structured version   Unicode version

Theorem rngonegmn1l 26556
 Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by . (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneg.1
ringneg.2
ringneg.3
ringneg.4
ringneg.5 GId
Assertion
Ref Expression
rngonegmn1l

Proof of Theorem rngonegmn1l
StepHypRef Expression
1 ringneg.3 . . . . . . . 8
2 ringneg.1 . . . . . . . . 9
32rneqi 5088 . . . . . . . 8
41, 3eqtri 2455 . . . . . . 7
5 ringneg.2 . . . . . . 7
6 ringneg.5 . . . . . . 7 GId
74, 5, 6rngo1cl 22009 . . . . . 6
8 ringneg.4 . . . . . . . 8
92, 1, 8rngonegcl 26552 . . . . . . 7
107, 9mpdan 650 . . . . . 6
117, 10jca 519 . . . . 5
1211adantr 452 . . . 4
132, 5, 1rngodir 21966 . . . . . . 7
14133exp2 1171 . . . . . 6
1514imp42 578 . . . . 5
1615an32s 780 . . . 4
1712, 16mpdan 650 . . 3
18 eqid 2435 . . . . . . . 8 GId GId
192, 1, 8, 18rngoaddneg1 26553 . . . . . . 7 GId
207, 19mpdan 650 . . . . . 6 GId
2120adantr 452 . . . . 5 GId
2221oveq1d 6088 . . . 4 GId
2318, 1, 2, 5rngolz 21981 . . . 4 GId GId
2422, 23eqtrd 2467 . . 3 GId
255, 4, 6rngolidm 22004 . . . 4
2625oveq1d 6088 . . 3
2717, 24, 263eqtr3rd 2476 . 2 GId
2810adantr 452 . . . 4
292, 5, 1rngocl 21962 . . . . . 6
30293expa 1153 . . . . 5
3130an32s 780 . . . 4
3228, 31mpdan 650 . . 3
332rngogrpo 21970 . . . 4
341, 18, 8grpoinvid1 21810 . . . 4 GId
3533, 34syl3an1 1217 . . 3 GId
3632, 35mpd3an3 1280 . 2 GId
3727, 36mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cgr 21766  GIdcgi 21767  cgn 21768  crngo 21955 This theorem is referenced by:  rngoneglmul  26558  idlnegcl  26623 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-ablo 21862  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918  df-rngo 21956
 Copyright terms: Public domain W3C validator