Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngosn Unicode version

Theorem rngosn 21071
 Description: The trivial or zero ring defined on a singleton set (see http://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_ring). (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ringsn.1
Assertion
Ref Expression
rngosn

Proof of Theorem rngosn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringsn.1 . . . . 5
21ablosn 21014 . . . 4
32a1i 10 . . 3
4 opex 4237 . . . . . 6
54rnsnop 5153 . . . . 5
65eqcomi 2287 . . . 4
76a1i 10 . . 3
8 ablogrpo 20951 . . . . 5
96grpofo 20866 . . . . 5
10 fof 5451 . . . . 5
118, 9, 103syl 18 . . . 4
123, 11syl 15 . . 3
13 elsni 3664 . . . . . 6
14 elsni 3664 . . . . . 6
15 elsni 3664 . . . . . 6
1613, 14, 153anim123i 1137 . . . . 5
1716adantl 452 . . . 4
18 simp1 955 . . . . . . . 8
19 simp2 956 . . . . . . . 8
2018, 19oveq12d 5876 . . . . . . 7
21 df-ov 5861 . . . . . . . 8
224, 1fvsn 5713 . . . . . . . 8
2321, 22eqtri 2303 . . . . . . 7
2420, 23syl6eq 2331 . . . . . 6
2524, 18eqtr4d 2318 . . . . 5
26 simp3 957 . . . . . 6
2719, 26oveq12d 5876 . . . . . . 7
2827, 23syl6eq 2331 . . . . . 6
2926, 28eqtr4d 2318 . . . . 5
3025, 29oveq12d 5876 . . . 4
3117, 30syl 15 . . 3
3218, 24eqtr4d 2318 . . . . 5
3319, 18eqtr4d 2318 . . . . . 6
3433oveq1d 5873 . . . . 5
3532, 34oveq12d 5876 . . . 4
3617, 35syl 15 . . 3
3719, 26eqtr4d 2318 . . . . . 6
3837oveq2d 5874 . . . . 5
3938, 29oveq12d 5876 . . . 4
4017, 39syl 15 . . 3
411snid 3667 . . . 4
4241a1i 10 . . 3
4314oveq2d 5874 . . . . . 6
4443, 23syl6eq 2331 . . . . 5
4544, 14eqtr4d 2318 . . . 4
4645adantl 452 . . 3
4714oveq1d 5873 . . . . . 6
4847, 23syl6eq 2331 . . . . 5
4948, 14eqtr4d 2318 . . . 4
5049adantl 452 . . 3
513, 7, 12, 31, 36, 40, 42, 46, 50isrngod 21046 . 2
5251trud 1314 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358   w3a 934   wtru 1307   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  csn 3640  cop 3643   cxp 4687   crn 4690  wf 5251  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858  cgr 20853  cablo 20948  crngo 21042 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-rngo 21043
 Copyright terms: Public domain W3C validator