Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngosubdi Structured version   Unicode version

Theorem rngosubdi 26560
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.1
ringsubdi.2
ringsubdi.3
ringsubdi.4
Assertion
Ref Expression
rngosubdi

Proof of Theorem rngosubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.1 . . . . 5
2 ringsubdi.3 . . . . 5
3 eqid 2435 . . . . 5
4 ringsubdi.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4rngosub 26555 . . . 4
76oveq2d 6089 . 2
8 ringsubdi.2 . . . . . . 7
91, 8, 2rngocl 21962 . . . . . 6
1093adant3r3 1164 . . . . 5
111, 8, 2rngocl 21962 . . . . . 6
12113adant3r2 1163 . . . . 5
1310, 12jca 519 . . . 4
141, 2, 3, 4rngosub 26555 . . . . 5
15143expb 1154 . . . 4
1613, 15syldan 457 . . 3
17 idd 22 . . . . . . 7
18 idd 22 . . . . . . 7
191, 2, 3rngonegcl 26552 . . . . . . . 8
2019ex 424 . . . . . . 7
2117, 18, 203anim123d 1261 . . . . . 6
2221imp 419 . . . . 5
231, 8, 2rngodi 21965 . . . . 5
2422, 23syldan 457 . . . 4
251, 8, 2, 3rngonegrmul 26559 . . . . . 6
26253adant3r2 1163 . . . . 5
2726oveq2d 6089 . . . 4
2824, 27eqtr4d 2470 . . 3
2916, 28eqtr4d 2470 . 2
307, 29eqtr4d 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cgn 21768   cgs 21769  crngo 21955 This theorem is referenced by:  dmncan1  26677 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918  df-rngo 21956
 Copyright terms: Public domain W3C validator