Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngosubdir Structured version   Unicode version

Theorem rngosubdir 26570
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.1
ringsubdi.2
ringsubdi.3
ringsubdi.4
Assertion
Ref Expression
rngosubdir

Proof of Theorem rngosubdir
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.1 . . . . 5
2 ringsubdi.3 . . . . 5
3 eqid 2436 . . . . 5
4 ringsubdi.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4rngosub 26564 . . . 4
76oveq1d 6096 . 2
8 ringsubdi.2 . . . . . . 7
91, 8, 2rngocl 21970 . . . . . 6
1093adant3r2 1163 . . . . 5
111, 8, 2rngocl 21970 . . . . . 6
12113adant3r1 1162 . . . . 5
1310, 12jca 519 . . . 4
141, 2, 3, 4rngosub 26564 . . . . 5
15143expb 1154 . . . 4
1613, 15syldan 457 . . 3
17 idd 22 . . . . . . 7
181, 2, 3rngonegcl 26561 . . . . . . . 8
1918ex 424 . . . . . . 7
20 idd 22 . . . . . . 7
2117, 19, 203anim123d 1261 . . . . . 6
2221imp 419 . . . . 5
231, 8, 2rngodir 21974 . . . . 5
2422, 23syldan 457 . . . 4
251, 8, 2, 3rngoneglmul 26567 . . . . . 6
26253adant3r1 1162 . . . . 5
2726oveq2d 6097 . . . 4
2824, 27eqtr4d 2471 . . 3
2916, 28eqtr4d 2471 . 2
307, 29eqtr4d 2471 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  cgn 21776   cgs 21777  crngo 21963 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-ass 21901  df-exid 21903  df-mgm 21907  df-sgr 21919  df-mndo 21926  df-rngo 21964
 Copyright terms: Public domain W3C validator