Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdi Structured version   Unicode version

Theorem rngsubdi 15700
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 9459 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngsubdi.b
rngsubdi.t
rngsubdi.m
rngsubdi.r
rngsubdi.x
rngsubdi.y
rngsubdi.z
Assertion
Ref Expression
rngsubdi

Proof of Theorem rngsubdi
StepHypRef Expression
1 rngsubdi.r . . . 4
2 rngsubdi.x . . . 4
3 rngsubdi.y . . . 4
4 rnggrp 15661 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5
6 rngsubdi.z . . . . 5
7 rngsubdi.b . . . . . 6
8 eqid 2435 . . . . . 6
97, 8grpinvcl 14842 . . . . 5
105, 6, 9syl2anc 643 . . . 4
11 eqid 2435 . . . . 5
12 rngsubdi.t . . . . 5
137, 11, 12rngdi 15674 . . . 4
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1186 . . 3
157, 12, 8, 1, 2, 6rngmneg2 15698 . . . 4
1615oveq2d 6089 . . 3
1714, 16eqtrd 2467 . 2
18 rngsubdi.m . . . . 5
197, 11, 8, 18grpsubval 14840 . . . 4
203, 6, 19syl2anc 643 . . 3
2120oveq2d 6089 . 2
227, 12rngcl 15669 . . . 4
231, 2, 3, 22syl3anc 1184 . . 3
247, 12rngcl 15669 . . . 4
251, 2, 6, 24syl3anc 1184 . . 3
267, 11, 8, 18grpsubval 14840 . . 3
2723, 25, 26syl2anc 643 . 2
2817, 21, 273eqtr4d 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  cgrp 14677  cminusg 14678  csg 14680  crg 15652 This theorem is referenced by:  2idlcpbl  16297  nrgdsdi  18693  nrginvrcnlem  18718  ply1divmo  20050 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657
 Copyright terms: Public domain W3C validator