Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngunsnply Structured version   Unicode version

Theorem rngunsnply 27369
 Description: Adjoining one element to a ring results in a set of polynomial evaluations. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngunsnply.b SubRingfld
rngunsnply.x
rngunsnply.s RingSpanfld
Assertion
Ref Expression
rngunsnply Poly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rngunsnply
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngunsnply.s . . 3 RingSpanfld
21eleq2d 2505 . 2 RingSpanfld
3 cnrng 16728 . . . . . . 7 fld
43a1i 11 . . . . . 6 fld
5 cnfldbas 16712 . . . . . . 7 fld
65a1i 11 . . . . . 6 fld
7 rngunsnply.b . . . . . . . 8 SubRingfld
85subrgss 15874 . . . . . . . 8 SubRingfld
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 rngunsnply.x . . . . . . . 8
1110snssd 3945 . . . . . . 7
129, 11unssd 3525 . . . . . 6
13 eqidd 2439 . . . . . 6 RingSpanfld RingSpanfld
14 eqidd 2439 . . . . . 6 RingSpanfld RingSpanfld
15 eqidd 2439 . . . . . . 7 flds Poly flds Poly
16 cnfld0 16730 . . . . . . . 8 fld
1716a1i 11 . . . . . . 7 fld
18 cnfldadd 16713 . . . . . . . 8 fld
1918a1i 11 . . . . . . 7 fld
20 plyf 20122 . . . . . . . . . . . 12 Poly
21 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . 12
2220, 10, 21syl2anr 466 . . . . . . . . . . 11 Poly
23 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . 10 Poly
2524rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9 Poly
2625ss2abdv 3418 . . . . . . . 8 Poly
27 abid2 2555 . . . . . . . . 9
2827, 5eqtri 2458 . . . . . . . 8 fld
2926, 28syl6sseq 3396 . . . . . . 7 Poly fld
30 abid2 2555 . . . . . . . . 9
31 plyconst 20130 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
329, 31sylan 459 . . . . . . . . . . . 12 Poly
3310adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
34 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534fvconst2 5950 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3736eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . 12
38 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
3938eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13
4039rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
4132, 37, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 Poly
4241ex 425 . . . . . . . . . 10 Poly
4342ss2abdv 3418 . . . . . . . . 9 Poly
4430, 43syl5eqssr 3395 . . . . . . . 8 Poly
45 subrgsubg 15879 . . . . . . . . . 10 SubRingfld SubGrpfld
467, 45syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrpfld
4716subg0cl 14957 . . . . . . . . 9 SubGrpfld
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
4944, 48sseldd 3351 . . . . . . 7 Poly
50 biid 229 . . . . . . . . 9
51 vex 2961 . . . . . . . . . 10
52 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
5352rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
54 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . 13
5554eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12
5655cbvrexv 2935 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
5753, 56syl6bb 254 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
5851, 57elab 3084 . . . . . . . . 9 Poly Poly
59 vex 2961 . . . . . . . . . 10
60 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
6160rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
62 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . 13
6362eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvrexv 2935 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
6561, 64syl6bb 254 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
6659, 65elab 3084 . . . . . . . . 9 Poly Poly
67 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
68 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
6918subrgacl 15884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SubRingfld
70693expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld
717, 70sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
7372adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7467, 68, 73plyadd 20141 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly Poly
75 plyf 20122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
76 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
7877ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
79 plyf 20122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
80 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
8281adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
83 cnex 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
8510ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
86 fnfvof 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8778, 82, 84, 85, 86syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
8887eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
89 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
9274, 88, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly Poly
93 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
9692, 95syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly Poly
9796rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly
98 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14
10099rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
101100imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly Poly
10297, 101syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
103102rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
1041033imp 1148 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
10550, 58, 66, 104syl3anb 1228 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
106 ovex 6109 . . . . . . . . 9
107 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10
108107rexbidv 2728 . . . . . . . . 9 Poly Poly
109106, 108elab 3084 . . . . . . . 8 Poly Poly
110105, 109sylibr 205 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
111 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 cnfldneg 16732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
113111, 112mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
114 cnfld1 16731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
115114subrg1cl 15881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld
1167, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 fld fld
118117subginvcl 14958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrpfld fld
11946, 116, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
120113, 119eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 plyconst 20130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
1229, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
123122adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
124 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
125 cnfldmul 16714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
126125subrgmcl 15885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubRingfld
1271263expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubRingfld
1287, 127sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
130123, 124, 72, 129plymul 20142 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
131 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13275, 10, 131syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
133 cnfldneg 16732 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly fld
135 negex 9309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136 fnconstg 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137135, 136mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
13877adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
13983a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
14010adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
141 fnfvof 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142137, 138, 139, 140, 141syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
143135fvconst2 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144140, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
145144oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
146132mulm1d 9490 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
147142, 145, 1463eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
148134, 147eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13 Poly fld
149 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld
151150rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . 13 Poly fld Polyfld
152130, 148, 151syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polyfld
153 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld
154153eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
155154rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . 12 Polyfld Polyfld
156152, 155syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11 Poly Polyfld
157156rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10 Poly Polyfld
158157imp 420 . . . . . . . . 9 Poly Polyfld
15958, 158sylan2b 463 . . . . . . . 8 Poly Polyfld
160 fvex 5745 . . . . . . . . 9 fld
161 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10 fld fld
162161rexbidv 2728 . . . . . . . . 9 fld Poly Polyfld
163160, 162elab 3084 . . . . . . . 8 fld Poly Polyfld
164159, 163sylibr 205 . . . . . . 7 Poly fld Poly
165114a1i 11 . . . . . . 7 fld
166125a1i 11 . . . . . . 7 fld
16744, 116sseldd 3351 . . . . . . 7 Poly
168129adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
16967, 68, 73, 168plymul 20142 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly Poly
170 fnfvof 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17178, 82, 84, 85, 170syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
172171eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
173 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175174rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
176169, 172, 175syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly Poly
177 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178177eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15
179178rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
180176, 179syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly Poly
181180rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly
182 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
183182eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14
184183rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
185184imbi2d 309 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly Poly
186181, 185syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
187186rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
1881873imp 1148 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
18950, 58, 66, 188syl3anb 1228 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
190 ovex 6109 . . . . . . . . 9
191 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10
192191rexbidv 2728 . . . . . . . . 9 Poly Poly
193190, 192elab 3084 . . . . . . . 8 Poly Poly
194189, 193sylibr 205 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
19515, 17, 19, 29, 49, 110, 164, 165, 166, 167, 194, 4issubrngd2 16267 . . . . . 6 Poly SubRingfld
196 plyid 20133 . . . . . . . . . . 11 Poly
1979, 116, 196syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 Poly
198 df-idp 20113 . . . . . . . . . . . 12
199198fveq1i 5732 . . . . . . . . . . 11
200 fvresi 5927 . . . . . . . . . . . 12
20110, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11
202199, 201syl5req 2483 . . . . . . . . . 10
203 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . 12
204203eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11
205204rspcev 3054 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
206197, 202, 205syl2anc 644 . . . . . . . . 9 Poly
207 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
208207rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
209208elabg 3085 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
21010, 209syl 16 . . . . . . . . 9 Poly Poly
211206, 210mpbird 225 . . . . . . . 8 Poly
212211snssd 3945 . . . . . . 7 Poly
21344, 212unssd 3525 . . . . . 6 Poly
2144, 6, 12, 13, 14, 195, 213rgspnmin 27367 . . . . 5 RingSpanfld Poly
215214sseld 3349 . . . 4 RingSpanfld Poly
216 fvex 5745 . . . . . . 7
217 eleq1 2498 . . . . . . 7
218216, 217mpbiri 226 . . . . . 6
219218rexlimivw 2828 . . . . 5 Poly
220 eqeq1 2444 . . . . . 6
221220rexbidv 2728 . . . . 5 Poly Poly
222219, 221elab3 3091 . . . 4 Poly Poly
223215, 222syl6ib 219 . . 3 RingSpanfld Poly
2244, 6, 12, 13, 14rgspncl 27365 . . . . . . 7 RingSpanfld SubRingfld
225224adantr 453 . . . . . 6 Poly RingSpanfld SubRingfld
226 simpr 449 . . . . . 6 Poly Poly
2274, 6, 12, 13, 14rgspnssid 27366 . . . . . . . . 9 RingSpanfld
228227unssbd 3527 . . . . . . . 8 RingSpanfld
229 snidg 3841 . . . . . . . . 9
23010, 229syl 16 . . . . . . . 8
231228, 230sseldd 3351 . . . . . . 7 RingSpanfld
232231adantr 453 . . . . . 6 Poly RingSpanfld
233227unssad 3526 . . . . . . 7 RingSpanfld
234233adantr 453 . . . . . 6 Poly RingSpanfld
235225, 226, 232, 234cnsrplycl 27363 . . . . 5 Poly RingSpanfld
236 eleq1 2498 . . . . 5 RingSpanfld RingSpanfld
237235, 236syl5ibrcom 215 . . . 4 Poly RingSpanfld
238237rexlimdva 2832 . . 3 Poly RingSpanfld
239223, 238impbid 185 . 2 RingSpanfld Poly
2402, 239bitrd 246 1 Poly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wrex 2708  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  csn 3816   cid 4496   cxp 4879   cres 4883   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000  cneg 9297  cbs 13474   ↾s cress 13475   cplusg 13534  cmulr 13535  c0g 13728  cminusg 14691  SubGrpcsubg 14943  crg 15665  cur 15667  SubRingcsubrg 15869  RingSpancrgspn 15870  ℂfldccnfld 16708  Polycply 20108  cidp 20109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-cmn 15419  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-rgspn 15872  df-cnfld 16709  df-0p 19565  df-ply 20112  df-idp 20113  df-coe 20114  df-dgr 20115
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