Theorem rninxp 3482

Description: Range of the intersection with a cross product.

Assertion

Ref	Expression
rninxp	|- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem rninxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2059	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> A.y e. B y e. ran ( C |` A))
2		ssrnres 3481	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> ran ( C i^i (A X. B)) = B)
3		ancom 435	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. C /\ x e. A) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
4		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	opelres 3372	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (<.x, y>. e. C /\ x e. A))
6		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (xCy <-> <.x, y>. e. C)
7	6	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ xCy) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
8	3, 5, 7	3bitr4 183	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (x e. A /\ xCy))
9	8	exbii 1051	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (C |` A) <-> E.x(x e. A /\ xCy))
10	4	elrn2 3349	. . . 4 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x<.x, y>. e. (C |` A))
11		df-rex 1650	. . . 4 |- (E.x e. A xCy <-> E.x(x e. A /\ xCy))
12	9, 10, 11	3bitr4 183	. . 3 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x e. A xCy)
13	12	ralbii 1667	. 2 |- (A.y e. B y e. ran ( C |` A) <-> A.y e. B E.x e. A xCy)
14	1, 2, 13	3bitr3 181	1 |- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  ran crn 3171   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  dminxp 3483  fncnv 3561  exfo 3822  brdom3 4801  brdom5 4802  brdom4 4803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190

Copyright terms: Public domain