MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rniun Unicode version

Theorem rniun 5107
Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rniun  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B

Proof of Theorem rniun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2820 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2804 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
32elrn2 4934 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2581 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ran  B  <->  E. x  e.  A  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 3925 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 269 . . 3  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
82elrn2 4934 . . 3  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 3925 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ran  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
107, 8, 93bitr4i 268 . 2  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ran  B )
1110eqriv 2293 1  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656   U_ciun 3921   ran crn 4706
This theorem is referenced by:  rnuni  5108  fun11iun  5509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716
  Copyright terms: Public domain W3C validator