MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rniun Structured version   Unicode version

Theorem rniun 5274
Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rniun  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B

Proof of Theorem rniun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2967 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2951 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
32elrn2 5101 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2722 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ran  B  <->  E. x  e.  A  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 4089 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1592 . . . 4  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 270 . . 3  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
82elrn2 5101 . . 3  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 4089 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ran  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
107, 8, 93bitr4i 269 . 2  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ran  B )
1110eqriv 2432 1  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   <.cop 3809   U_ciun 4085   ran crn 4871
This theorem is referenced by:  rnuni  5275  fun11iun  5687  cnextf  18087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881
  Copyright terms: Public domain W3C validator