MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rniun Unicode version

Theorem rniun 5224
Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rniun  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B

Proof of Theorem rniun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2920 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2904 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
32elrn2 5051 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2676 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ran  B  <->  E. x  e.  A  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 4041 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 270 . . 3  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
82elrn2 5051 . . 3  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 4041 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ran  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
107, 8, 93bitr4i 269 . 2  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ran  B )
1110eqriv 2386 1  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   <.cop 3762   U_ciun 4037   ran crn 4821
This theorem is referenced by:  rnuni  5225  fun11iun  5637  cnextf  18020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-cnv 4828  df-dm 4830  df-rn 4831
  Copyright terms: Public domain W3C validator