MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rniun Unicode version

Theorem rniun 5091
Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rniun  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B

Proof of Theorem rniun
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2807 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y <. y ,  z
>.  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
2 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
32elrn2 4918 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
43rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ran  B  <->  E. x  e.  A  E. y <. y ,  z >.  e.  B )
5 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
65exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. y E. x  e.  A  <. y ,  z >.  e.  B )
71, 4, 63bitr4ri 269 . . 3  |-  ( E. y <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
82elrn2 4918 . . 3  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  E. y <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  A  B )
9 eliun 3909 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ran  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  ran  B )
107, 8, 93bitr4i 268 . 2  |-  ( z  e.  ran  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ran  B )
1110eqriv 2280 1  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   <.cop 3643   U_ciun 3905   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  rnuni  5092  fun11iun  5493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator