Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnlogbval Unicode version

Theorem rnlogbval 24388
Description: Value of the general logarithm with integer base. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
rnlogbval  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( Blogb X )  =  ( ( log `  X
)  /  ( log `  B ) ) )

Proof of Theorem rnlogbval
StepHypRef Expression
1 rnlogblem 24387 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
32simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
43rpcnd 10639 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
52simp2d 970 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  B  =/=  0 )
62simp3d 971 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  B  =/=  1 )
7 eldifpr 24380 . . 3  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 ,  1 } )  <->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
84, 5, 6, 7syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 ,  1 } ) )
9 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  X  e.  RR+ )
109rpcnne0d 10646 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 ) )
11 eldifsn 3919 . . 3  |-  ( X  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 ) )
1210, 11sylibr 204 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  X  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
13 logbval 24378 . 2  |-  ( ( B  e.  ( CC 
\  { 0 ,  1 } )  /\  X  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( Blogb X )  =  ( ( log `  X
)  /  ( log `  B ) ) )
148, 12, 13syl2anc 643 1  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  RR+ )  ->  ( Blogb X )  =  ( ( log `  X
)  /  ( log `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   0cc0 8979   1c1 8980    / cdiv 9666   2c2 10038   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   logclog 20440  logbclogb 24376
This theorem is referenced by:  rnlogbcl  24389  logbrec  24393  logblt  24394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-logb 24377
  Copyright terms: Public domain W3C validator